WisFaq!

Automorfismen van (R,+)

T: - : x - ax + b (met a,b Î
Is T een automorfisme van de groep ,+ ?

Hoe kan je dit verklaren? en wat is het antwoord?

lien
13-5-2004

Antwoord

Als b niet 0 is, is het geen automorfisme, want het neutrale element van de groep (hier 0) wordt dan niet op zichzelf afgebeeld.
Immers, algemeen geldt T(0)=b.

We kunnen de eisen even nagaan.
1) Is T(x1+x2)=T(x1)+T(x2)?
T(x1+x2)=a(x1+x2)+b.
T(x1)+T(x2)=ax1+b+ax2+b=a(x1+x2)+2b.
Aan voorwaarde 1) is dus alleen voldaan als 2b=b, dus als b=0.
2) Is T een bijectie van op ? Maw, heeft T een inverse?
Dit is duidelijk niet het geval als a=0.
Als a¹0, dan is ax+b=y Û x=(y-b)/a, dus dan is S met S(x)=(x-b)/a de inverse afbeelding.

Samenvattend, T is een automorfisme precies dan als b=0 en a¹0.

hr
17-5-2004