WisFaq!

Aantal oplossingen van diophantische vergelijking

Hallo team wisfaq,

Ik heb de volgende vraag.

s(n) is het aantal oplossingen in gehele getallen x,y van x^2+2(y^2)=n. Zij S(N)=[SOM van n=1 t/m N]s(n). Ik wil bewijzen dat lim(N-oneindig) (S(N)/N)=pi/(wortel 2).

Zouden jullie mij hiermee kunnen helpen?

Alvast bedankt en groeten,

Viky

viky
16-4-2004

Antwoord

Hallo, Viky.
S(N) is (bijna) het aantal roosterpunten in het gebied binnen de ellips x²+2y²=N.
Dat aantal is (ongeveer) gelijk aan de oppervlakte van dat gebied, dus aan 4*ò₀^Ö(N/2) ò₀^Ö(N-2y2)dx dy.
De gevraagde limiet is dan lim(N®¥) (4/NÖ2) ò₀^ÖN Ö(N-s²) ds = p/Ö2.
Het verrassende is hier dat het vraagstuk over getallentheorie lijkt te gaan, maar uiteindelijk een kwestie van integreren is.

hr
19-4-2004