WisFaq!

Spiegelingsprincipe van Schwarz

Hallo team wisfaq,

Ik wil graag het volgende vraagstuk oplossen.
(C is het complexe vlak, Rez is het reele deel van z, Imz is het imaginaire deel van z)

Zij G het gebied {z in C: Imz0, 0Rez1, |z|1} en zij g een analytische functie die G 1-1 afbeeldt op het bovenhalfvlak en continu tot de rand van G wordt voortgezet. En g(oneindig)=oneindig.

Hoe bewijs ik nu het volgende:
1. g is uit te breiden tot een analytische functie op het bovenhalfvlak.Dus ik kan g zodanig definieren dat het bovenhalfvlak tot het domein van g gaat behoren.
2. g heeft de volgende eigenschap;
g(z)=g(z+2) en g(z)=g(z/(2z+1)).

Bij onderdeel 2 moet je het spiegelingsprincipe gebruiken:

Spiegelingsprincipe van Schwarz
Zij G een gebied waarvan de rand een niet-lege doorsnede met een cirgelboog of lijnstuk I heeft en zij g:G-C een meromorfe functie die continu tot I is voort te zetten zodat g(I) een cirkelboog of lijnstuk is.Dan is g voort te zetten tot een meromorfe functie op G~I~G* (~ staat hier voor verening, G* is de gespiegelde van G in I) door voor z in G het volgende te definieren

g(SI(z))=Sg(I) g(z)

SI(z) betekent: z gespiegeld in I
Sg(I) g(z) betekent: g(z) gespiegeld in g(I).

Groeten en veel dank,

Viky

viky
14-4-2004

Antwoord

Hallo Viky,

Je schrijft al dat je bij onderdeel 2 het spiegelingsprincipe van Schwarz moet gebruiken. Ook bij onderdeel 1 komt dit al van pas. Immers, de eigenschappen bij 2 zijn precies wat je nodig hebt om de gewenste uitbreiding te definieren. Door herhaaldelijk te spiegelen in de verticale randen van G ({z in C: Rez = 0} en {z in C: Rez = 1}), kun je g al uitbreiden tot bovenhalfvlak met uitzondering van halve cirkels met straal 1 rond ...-6,-4,-2,0,2,4,6,... en door spiegelen in deze halve cirkels kun je uiteindelijk ook het hele bovenhalfvlak dekken (met een complicatie, zie hieronder). Om het bewijs volledig te maken moet je nog enkele stappen bewijzen:

1) dat je Schwarz' spiegelingsprincipe mag toepassen. Hiervoor moet je opmerken dat de randen van G cirkelbogen of lijnstukken zijn EN dat het beeld ervan op de rand van het beeld van G, het bovenhalfvlak, moet liggen, en dus een deel is van een lijnstuk, te weten de reele as. Ook bij latere spiegelingen in de overblijvende cirkelbogen gebruik je ditzelfde argument (gespiegelden van cirkelbogen zijn weer cirkelbogen).
2) Je kunt het hele bovenhalfvlak krijgen door herhaaldelijk spiegelen in de overblijvende cirkelbogen. Dit is wat subtieler (en dit is eigenlijk de gein en de crux van de opgave). Bij elk eindig aantal spiegelingen hou je immers een stel halve cirkels op de reele as over waar g nog niet gedefinieerd is. Echter, voor elk punt met Imz 0 is er een eindig aantal spiegelingen waarna een omgeving van het punt bevat is in het domein van de uitbreiding.

Dat aan de eigenschappen onder punt 2 wordt voldaan is vervolgens een kwestie van de spiegeleigenschappen uit de methode waarop g is geconstrueerd aan elkaar koppelen (g voldoet aan g(-z^*)=g(z)^* en g(2-z^*)=g(z)^*, dus ...; analoog voor de tweede).
Ik laat het aan jou om verder alle details in te vullen. Succes ermee!

Guido Terra

gt
19-4-2004