WisFaq!

Limiet in `mean square sense`

Hallo,

Ik heb het volgende gegeven:
E[A-B] = 0
Var(A-B) 2 v

Waarbij A, B, en v variabelen zijn (hun waarde en betekenis is hier niet belangrijk). Dit staat in een wiskundig boek, waarna men besluit :
lim (v-0) (A-B) = 0

Dit lijkt me redelijk logisch, aangezien het verschil van hun verwachtingswaarde 0 is, en de variantie van hun verschil naar 0 gaat. Maar hoe kan ik dit precies verantwoorden?

Mijn professor zegt dat dit een limiet in mean square sense is. Maar als ik op internet ga zoeken, vind ik dat mean square sense eerder iets betekent als E[|X_n-X|^2] - 0
voor n gaande naar oneindig en X_n een random sequentie?

Alvast bedankt !
Tim

tim
8-4-2004

Antwoord

Hoi,

We hebben het hier blijkbaar over discrete variabelen.
Definieer c_n=a_n-b_n voor n=1..¥. We stellen ook dat p_n de kans is op c_n.

Dan is c=E[c_n]=sum(p_n.c_n) = 0 en E[(c_n-c)²]=sum(p_n.(c_n-c)²)=Var(c_n)2v. Als v®0, dan zal Var(c_n)®0 (omdat die positief moet zijn), zodat ook E[(c_n-c)²]®0. De twee definities die je aanhaalde betekenen dus precies hetzelfde.

Groetjes,
Johan

andros
9-4-2004