WisFaq!

Re: Re: Diophantische vergelijkingen

Hallo MBL,

Heel erg bedankt voor je uitleg, ik begrijp het nu helemaal. Ik heb nu veel geoefend met bewijzen waarin je moet laten zien dat een vergelijking zoals x⁴-8y⁴=z² geen oplossingen in positieve gehele getallen heeft.Ik heb in boeken ook voorbeelden gezien. Maar hoe laat je nu zien dat een vergelijking zoals bijvoorbeeld

x²+4y²=z⁴

wel een oplossing in positieve getallen heeft.

Ik heb in boeken nog geen bewijs of voorbeeld hiervan gezien. Zou je mij misschien een aanwijzing kunnen geven hoe ik dit zou kunnen bewijzen?

Groeten,

viky
2-4-2004

Antwoord

Bij mijn beste weten is het oplossen van deze vergelijkingen een in feite onopgelost probleem. Ik heb er even wat boeken op na geslagen en alle auteurs bespreken meer de onoplosbare dan de oplosbare gevallen. Er zijn met computerberekeningen wel wat oplossingen van specifieke gevallen gevonden, maar vaak weet men niet of er nog meer te vinden zijn.
Met geavanceerde methoden uit de algebraïsche meetkunden is er blijkbaar soms wel iets meer over te zeggen, maar dan ben je wel heel erg gespecialiseerd bezig.
De vergelijking die je instuurt heeft bijv. de oplossingen (0,2,2) en (4,0,2) en zo zijn er nog wel een paar te vinden. Aan een algemene strategie kan ik je in elk geval niet helpen en die lijkt er ook eigenlijk niet te zijn.
Per geval handelen, zou ik zeggen.

MBL
2-4-2004