WisFaq!

DV eerste orde eerste graad met te scheiden variabelen

Hallo,

Ik ben bezig met wiskunde en nu blijf ik bij een opgave steken :

y' = 3-2y x= 0 en y = 1

Oplossing is :y = 3e^2x - 1/ 2e^2x

Dit is wat ik heb gedaan:

dy/dx = 3-2y
(1/3-2y) dy = dx
stel t= 3-2y =-(1/2)dt = dy
-(1/2)F t^-1 = F 1dx
-(1/2) ln|t| = x + c
ln|t|^-(1/2) = x + c
E^ x + c = 1/Öt ( 3-2y)

en vanaf hier snap ik er nix meer van, doe ik het helemaal niet goed of voor een gedeelte . Waar ga ik de fout in ????

Kunnen jullie mij helpen??

Bij voorbaat dank,

Jeroen

jeroen
25-3-2004

Antwoord

Beste Jeroen,

Eerst herschrijven we jouw differentiaalvergelijking als y'(x) + 2y(x) = 3
Nu gaan we de leden met een nog onbekende functie g(x) vermenigvuldigen zodat we het linkerlid kunnen herschrijven als de uitwerking van de productregel, waarna we kunnen integreren. Het is bekend dat integreren en differentiëren inverse bewerkingen zijn.

Krijgen we y'(x)·g(x) + 2y(x)·g(x) = 3·g(x).
De productregel luidt (f(x)·h(x))' = f'(x)·h(x)+h'(x)·f(x).
We zien dat de eerste term van y'(x)·g(x)+2y(x)·g(x) al een afgeleide functie heeft, daar vermenigvuldig je g(x) mee die je in de tweede term gebruikt maar dan als afgeleide! Je ziet dat g'(x)=2·g(x) (want anders klopt de productregel niet). Wat g(x) nu is kunnen we oplossen m.b.v. scheiden van variabelen. Delen we links en rechts door g(x) dan krijgen we g'(x)/g(x) = 2 (let wel g(x) mag niet 0 zijn). Als we nu links en rechts gaan integreren dan krijgen we òg'(x)/g(x)dx = 2òdx. Oftwel ln|g(x)| = 2x + c Û g(x)=±e^2x+c, we mogen vrij kiezen dat g(x)=e^2x.

We hebben de differentiaalvergelijking dus omgebouwd tot
y'(x)·e^2x + 2·y(x)·e^2x = 3e^2x
Û (y(x)·e^2x)' = 3e^2x
(wat we tot nu toe gedaan hebben, noem je ook wel de methode van de integrerende factor).
Links en rechts integreren levert:
y(x)·e^2x = ³/₂e^2x+c
Û y(x) = ³/₂e^2x·e^-2x + ce^-2x
Û y(x) = ³/₂ + ce^-2x.

MAAR we hadden een randvoorwaarde, namelijk als x=0 dan y=1, met andere woorden y(0)=1.
Dus y(0) = ³/₂ + ce^-2·0 = 1
Û ³/₂ + c = 1 Û c=-¹/₂

Dus de oplossing is y(x)=³/₂-¹/₂e^-2x.

Groetjes,

Davy.

Davy
25-3-2004