WisFaq!

Grootste oppervlakte van een rechthoek in een ellips

Gegeven de ellips 1/4·x² + y² = 1

Hoe bereken ik de oppervlakte van de grootste rechthoek die binnen de ellips geplaatst kan worden?

Roland
25-3-2004

Antwoord

Hallo, Roland.
Men kan de vergelijking schrijven als (x/2)²+y²=1, dus x/2=cos(t) en y=sin(t) voor t variërend van 0 tot 2$\pi$.
Past men zo'n rechthoek in de ellips, dan zijn de zijden daarvan parallel aan de assen; de hoekpunten hebben dan coördinaten (±2·cos(t),±sin(t)) voor t tussen 0 en $\pi$/2.
De oppervlakte is dan lengte·breedte = 2·2·cos(t)·2·sin(t)=4·sin(2t). Dit is maximaal (met maximumwaarde 4) als sin(2t)=1, dus als 2t=$\pi$/2, dus t=$\pi$/4. De hoekpunten zijn dan (±2·cos(t),±sin(t)) met t=$\pi$/4, dus ([±√2,±¹/₂√2).

hr
25-3-2004