WisFaq!

Integraal zoeken

Kunt u mij in stappen laten zien hoe ik x²/Ö(1+x³) integreer??

BVD

Rick
24-3-2004

Antwoord

Hoi,

Deze integraal gaan we oplossen m.b.v. de zogeheten substitutiemethode. Die gaat als volgt: je kiest een variabele (noem die bijvoorbeeld u) waar je één functie aan gelijkstelt, daarna differentieer je die functie en herschrijf je je dx naar du (want je integreert nu ook naar een andere variabele). Dan kun je de gemakkelijkere integraal uitrekenen en achteraf vervang je in de uitkomst je u door de oorspronkelijke functie. Het is als het ware een omgekeerde kettingregel.

ò^x2/_Ö(1+x³)dx.
Welke functie 'zit' in een andere functie (want zo moet je ook denken bij de kettingregel)? 1+x³ zit in de wortelfunctie, laten we u = 1+x³ dan is ^du/_dx = 3x². En via kruislingsvermenigvuldigen komen we op du = 3x²dx, maar in de teller staat x²dx dus ¹/₃du = x²dx.
Þ ò^x2/_Ö(1+x³)dx = ò^1/₃du/_Öu
Þ¹/₃òu^-1/₂du (hier heb ik gebruik gemaakt van het feit dat een constante voor het integraalteken gezet mag worden, en dat 1/a = a^-1 waarbij je ook nog moet weten dat Öa = a^1/₂.

Als we dit verder oplossen, dan krijgen we ²/₃Öu + c, en omdat u = 1+x³, is het antwoord ²/₃Ö(1+x³) + c.

Groetjes,

Davy.

Davy
24-3-2004