WisFaq!

Lengte van een draad om twee cirkels

Stel ik heb twee cirkels met ongelijke diameter naast elkaar liggen (de middenpunten van de cirkels liggen horizontal op een lijn met elkaar).

1. Wat is dan de formule om exact de omtrek te berekenen als ik een draadje leg om deze draden.
2. Als deze cirkels het vooraanzicht zijn van twee draden met een lengte l en ik om deze draden een draadje wind met een bepaalde spoed S, wat is dan de formule om exact de lengte van die winding te berekenen.

Erwin Jobse
23-3-2004

Antwoord

Laten we eerst maar eens een concreet voorbeeld nemen:



De straal van de grote cirkel is 10 en de straal van de kleine cirkel is 4. De vraag is nu: hoelang is de rode kromme, die bestaat uit twee cirkelbogen en twee lijnstukken.



..en zoals je ziet is het geen exact antwoord maar een benadering. Voor een toepassing lijkt me dat overigens ook niet het probleem. In het voorbeeld heb ik gerekend met graden. Voor het algemene geval zijn radialen natuurlijk een stuk logischer....

Dus nu dan maar het algemene geval:



Op dezelfde wijze als in het voorbeeld leiden we een formule voor x af:



Daarmee leiden we ook een formule voor a af:



Zo ook voor de lengte van PQ:



De formule voor de tangens kan je halen uit de tekening hiernaast. Nu zijn we, volgens mij, al een heel eind gekomen:



Waarmee we een algemene formule hebben afgeleid voor de lengte van zo'n kromme als in de tekening hierboven.

Het antwoord op de tweede vraag moet je dan maar zelf bedenken...

WvR
31-3-2004