WisFaq!

Gekoppelde differentie vergelijkingen

Geachte lezer dezes.

De hieronder gegeven gekoppelde set differentie vergelijkingen levert voor 0a2 een periodieke getallen reeks op voor zowel de toestands variabele x als y. Bij een geschikte keuze van a (bijv. a=2^-4) ontstaan er bijna identieke periodieke reeksen die voor x cosinusvormig is en voor y sinusvormig.

x[n+1]=x[n]-y[n].a
y[n+1]=y[n]+x[n+1].a

Nu de vraag.

Ik heb me tijdens mijn studie op de Universiteit Twente ooit verdiept in numerieke oscillatoren. Ik kwam er al snel achter dat de coefficienten representatie bijna altijd tot een expanderende of een comprimerende reeksontwikkeling tot gevolg had. Er ontsnapte dus als het ware op abstracte wijze energie uit het resonerende filter.
Hoe komt het nu dat het bovenstaande stelsel gekoppelde differentie vergelijkingen daar geen last van heeft. Sterker nog, het maakt zelfs niet uit met hoeveel bits de coefficient a in het algoritme wordt gerepresenteerd. Deze vraag heeft mij al jaren bezig gehouden.
Kunt u mij een antwoord geven op deze vraag.

Oja, een bijzonder detail is o.a. als a=2^-4, de periode duur (afhankelijk van de afrondingstechniek) exact op 100 gebracht kan worden. De reden hiervoor is niet zo lastig te achterhalen immers atg(2^-4)=3.57° en 100 maal deze hoek levert ruwweg 360° de afronding doet de rest.

Vriendelijk bedankt voor uw moeite.

Erwin Bouwmeester
21-3-2004

Antwoord

Hallo Erwin,

Het probleem dat je hier geeft kun je omschrijven tot
x[n+1]=x[n]-a·y[n]
y[n+1]=a·x[n] + (1-a²)y[n]

Het is een lineaire differentie-vergelijking. Dan kunnen we het dus schrijven met behulp van een matrix:

[n+1] =

×

[n]

Als we die matrix A noemen, dan is de oplossing van het stelsel

[n] =

An

×

[0]

Het probleem is nu dus om Aⁿ uit te rekenen. Hiervoor heeft de lineaire algebra echter ook de methode voor: diagonaliseer A. In dit geval hebben we voor -2 < a < 2 complexe eigenwaarden en eigenfuncties, maar voor het eindantwoord is dat geen probleem. Het voert me wat ver om hier nu de eindformule te geven, want dat is wel een hele kluif voor algemene a (merk op dat wanneer we een waarde voor a invullen, het leven een stuk simpeler wordt), maar volsta met op te merken dat:

An

=

M ×

× M-1

met r_+,- = 1-a²/2 +- i a/2 Ö (4-a²) de eigenwaarden en M de basistransformatie (naar de basis gevormd door de eigenvectoren van A) die gegeven wordt door

M

=

Belangrijker is dat je aan r_+,- direct het gedrag van de oplossingen kunt lezen. Het complexe zijn van r_+,- duidt dan op (deels) periodiek gedrag. Als we namelijk schrijven r_+,- = |r_+,-| e^{i f}, met |r_+,-| = |a| de absolute waarde van r_+,- en f het argument, dan is de oplossing iets wat ronddraait in het x,y-vlak met een "periode" van 1/f (voor zover je daarvan kan spreken bij een reeks die meestal niet exact periodiek is) en per stap groeit of krimpt met een factor |r_+,-|. Conclusie is dus dat we een periodieke oplossing met periode 6 hebben voor a=1 (want dan is de krimp-/groei-factor precies 1, een krimpende spiraal voor -1
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

gt
23-3-2004