WisFaq!

Zwaartepunt van een kromme

Hallo.

Stel ik heb een kromme, gegeven door:

r=4+3t
phi=2Pi·t
z=2-t²

maar hier kunnen ook andere getallen staan natuurlijk.

Hoe bereken ik nu het zwaartepunt van de kromme? Dus niet van het vlak dat de kromme opspant!

De dichtheid is gewoon 1.

Ik dacht, ik neme gewoon de standaardforumle. x-coordinaat zwaartepunt=De integraal over x·functie / de integraal functie

Dit werkt dus niet. Ik vermoed door de poolcoordinaten.

Nu dacht ik dat als ik de inverse formule voor de straal r neem, dus r=4+3t -- t=(r-4)/3

Nu neem ik de integraal van r·t(r) en deel die door de integraal van t(r). Ik verander de grenzen van t naar r door de forumle in te vullen.

Als ik nu een r,phi en z weet, en die in het plaatje van de kromme er klopt er helemaal niks van.

-----

Toen dacht ik, ik neem gewoon een dubbele integraal over het gebied en neem de grenzen van linkergrens tot a en a tot rechtergrens, en die twee stel ik aan elkaar gelijk. Daar komt dan mooi een waarde voor a uitrollen. Maar nu ben ik dus uitgegaan van een vlak, terwijl het een lijn is.

??

michael
17-3-2004

Antwoord

Hallo Michael,

in principe moet je wel degelijk gewoon de standaard-formule gebruiken. Maar let wel op:
'functie' = de dichtheid = 1.
'integraal' = de padintegraal over je kromme.

Voor de padintegraal heb je de lengte van de snelheidsvector nodig. Die moet je dan natuurlijk wel in cartesische coordinaten uitreken. Er zijn dus twee manieren om verder te gaan:
1) schrijf de kromme in cartesische coordinaten x=r cos($\phi$), y=r sin($\phi$), z=z, en ga dan verder zoals je gewend bent.
2) bereken de lengte van de snelheidsvector via de poolcoordinaten: 'ds² = dr² + r²·d$\phi$² + dz²'. Om dan de x-coordinaat van het zwaartepunt te berekenen neem je in de noemer $\int{}$ r cos($\phi$) ds en in de teller $\int{}$ ds.

In dit voorbeeld krijg je dus:
$\int{}$ r cos($\phi$) ds = $\int{}$ [ (4+3t) cos(2$\pi$t) √(3+(4+3t)² (2$\pi$)² + (-2t)²) ] dt.
$\int{}$ ds = $\int{}$ [ √(3+(4+3t)² (2$\pi$)² + (-2t)²) ] dt.

Je hebt niet geschreven wat de grenzen zijn, dus vanaf hier zul je het verder zelf moeten doen.
Succes!

Guido Terra

gt
17-3-2004