WisFaq!

Oppervlakteberekening van een deel van de grafiek gegeven door poolcoördinaten

grote vraag...
poolcoördinaat : r(t) = cos(1-2·t)/cos(t)

x(t) = r(t)·cos(t)
y(t) = r(t)·sin(t)

Beschouw het stuk van de kromme in het derde kwadrant tussen de oorsprong en de rechte y=10x

de vraag : bereken de oppervlakte van de sector tussen de voerstralen van de berekende eindpunten en het stuk van de kromme in het (x,y)-vlak.

Ik ga niet al het werk voor jullie laten, de snijpunten van de rechte met de kromme in het (x,y) vlak zijn:
(-0.363;-3.63) en (0,0)(dit zijn dus de eindpunten waarover ze spreken in de vraag)

ik hoop dat jullie verder kunnen met deze info, meer heb ik ook niet...

danku

Michael Colla
7-3-2004

Antwoord

Hier is t de hoek die de voerstraal maakt met de positieve x-as, deze wordt meestal f genoemd. In dit vraagstuk loopt t van 1/2+5p/4 (dan is r=0 in het derde kwadrant) tot p+arctan(10) (dan is y=10x in het derde kwadrant).

Volgens de theorie van het berekenen van oppervlakten met poolcoördinaten is de gevraagde oppervlakte gelijk aan
ò r²/2 dt met t variërend tussen boven genoemde grenzen.

Vul nu in deze integraal voor r de gegeven functie r(t) in, en bereken de integraal tussen de genoemde grenzen.
Dat is weer een ander verhaal. Je moet dan u=tan(t) stellen, zodat cos(t)=-1/(u²+1), sin(t)=-u/(u²+1), du=dt/cos²(t) en u loopt van tan(5p/4+1/2) tot 10.
Met behulp van formules voor cos(a+b) en sin(a+b) kun je ook cos(1-2t) in u uitdrukken.
Probeer het maar eens. Lukt het niet, dan kunt u altijd verder vragen.

hr
11-3-2004