WisFaq!

Lineaire combinaties

Beste Wisfaq,

ik zit vast bij de volgende opgaven, kan iemand me daarmee verder helpen?

1)
Is {v1,v2,v3,v4} een verzameling lineair onafhankelijke vectoren (element van R^n), bepaal dan welke verzameling eveneens bestaat uit lineair onafhankelijke vectoren.

bv
V1={v1-v2,v2-v3,v3-v1}

Ik ging als volgt te werk:
v1(1,0,-1)
v2(-1,1,0)
v3(0,-1,1)
En dan kijken of de det al dan niet o is?

2) Is {v1,v2,...,vk} een verzameling lineair onafhankelijke vectoren (Î R^n) en is w Ï v1,v2,0000,vk dan is:

** {v1,v2,....,vk,w} een verzameling lineair onafhankelijke vectoren.

** {v1+w, v2+w,...,vk+w} een verzameling lineair onafhankelijke vectoren.

Bewijs deze **

Kan iemand me hierbij helpen?

Dank bij voorbaat,
Anne

Anne
27-2-2004

Antwoord

Dag Anne

1)
De verzameling V1 bestaat niet uit lineair onafhankelijke vectoren want (v3-v1) = -(v1-v2) - (v2-v3).
De derde vector is dus een lineaire combinatie van de eerste twee. Dus de verzameling bestaat niet uit lineair onafhankelijk vectoren.

Als je gebruik wil maken van n-tallen moet je er rekening mee houden dat hier n 4, vermits gegeven is dat een verzameling van 4 vectoren lineair onafhankelijk is. In een drie-dimensionale ruimte kun je geen verzameling van 4 vectoren hebben die lineair onafhankelijk is.
De n-tallen die je aan de vectoren wil geven, moeten dus minstens 4-tallen zijn.

2)
a) Er is gegeven dat w geen lineaire combinatie is van de vectoren v1,v2,...,vk. Vermits {v1,v2,...,vk} een verzameling lineair onafhankelijke vectoren is , is {v1,v2,....,vk,w} dus ook een verzameling lineair onafhankelijke vectoren.
b)
Stel r1.(v1+w) + r2.(v2+w) + ... + rk.(vk+w) = 0 met niet alle r's = 0
Dan
r1.v1 + r2.v2 + ... + rk.vk + (r1+r2+...rk).w = 0
r1.v1 + r2.v2 + ... + rk.vk = -(r1+r2+...rk).w
Noem r1+r2+...rk = rw
Dan
w = -¹/_rw.(r1.v1 + r2.v2 + ... + rk.vk)
Dus w is een lineaire combinatie van v1,v2,...vk
Dit kan niet volgens het gegeven.
Dus alle r's moeten 0 zijn, en zijn de vectoren lineair onafhankelijk.

LL
28-2-2004