WisFaq!

Assenstelsel dat meebeweegt met vliegtuig

De onderstaande parametervergelijking beschrijft de baan van een vliegtuig dat een snaproll uitvoert (soort schroefbeweging).
x = R.cos(wt)
y = R.sin(wt)
z = h.wt
(met 2ph gelijk aan de verplaatsing vlgs de z-as na 1 omwenteling)

We hebben reeds de versnellingen en de krachten uitgerekend tov een vast assenstelsel.
We willen deze nu kennen tov een assenstelsel dat meebeweegt met het vliegtuig om zo een verdere analyse mogelijk te maken.

We weten echter niet hoe hieraan te beginnen.

Alvast bedankt

Kasper

Kasper Lambrighs
26-2-2004

Antwoord

We belanden hier op het terrein van de differentiaalmeetkunde.
Is s(t) de booglengte over de schroeflijn vanaf een bepaald willekeurig beginpunt dan is de afgeleide s'(t) gelijk aan de lengte van de afgeleide vector (-Rw sin(wt), Rw cos(wt), hw), dat is w Ö(R²+h²) = wc. Door handige keuze van het beginpunt kan men stellen s(t)=wct.
De booglengteparametrizering van de schroeflijn is dan (R cos(s/c), R sin(s/c), h/c). Noem deze vector X(s).
Bereken nu de afgeleide vector T(s)=X'(s) (differentieer naar s). Dat is de raakvector. Ga na dat deze lengte 1 heeft.
Bereken vervolgens de afgeleide T'(s). Dat is k(s)*N(s), waarbij N(s) de hoofdnormaal is (met lengte 1), en k(s) de kromming. Bepaal k en N.
Bereken dan N'(s). Volgens Frenet is N'=-kT+tB, waarbij B(s) de binormaal is (met lengte 1). Hiermee kan men B berekenen.
Het stelsel (T,N,B) wordt triëder van Frenet genoemd, en is een met het vliegtuig meebewegend orthonormaal assenstelsel.
Overigens bevindt het vliegtuig zich steeds in de oorsprong van dit assenstelsel.

hr
4-3-2004