WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op dinsdag 21 september 2021

Bewijs met volledige inductie: n! > n

Hiervan heb ik een bewijs staan in een cursus, maar ik begrijp bepaalde stappen niet goed..hopelijk kunt u mij hier wat uitleg bij geven:

n! n2 voor n 4 met n

1)de stelling geldt voor n4, dus als basis kiest men n=4
dit geeft: 24 = 1*2*3*4 = 4! 42 = 16

2)men stelt dat de stelling geldt voor n=k en gaat na voor n=k+1, dus:
TB: (k+1)! (k+1)2
B: (k+1)! = (k+1)*k!
en (k+1)*k! (k+1)*k2, wat volgt uit de stelling en waarbij beide leden vermenigvuldigd zijn met (k+1).
Daarna doet men dit:
Voldoende TB: (k+1)*k2 (k+1)2, wat men uitwerkt tot:
Voldoende TB: k3 2k+1.
Daar k4, hebben we k3 = k2*k 16k 3k = 2k+k 2k+1.
Dus k3 2k+1.

Er zijn 2 dingen die ik niet begrijp:
1. waarom geldt deze stelling voor n 4? Het is toch duidelijk dat de stelling bij n=4 niet klopt? (men plaatst er een gelijkheidsteken bij). Iets gelijkaardigs keert terug bij 16k 3k? Het is toch duidelijk dat dit strikt groter is, dus waarom geldt dan niet dat k3 2k+1? En ook bij 2k+k 2k+1.

2. het 2e wat ik niet goed begrijp is de stap van B naar Voldoende TB. Ik begrijp dat men de faculteit wegwerkt tot machten om makkelijk mee te kunnen werken, maar ik begrijp niet hoe men aan de vergelijking (k+1)*k2 (k+1)2 komt.
Ik heb reeds geprobeerd om beide stappen in elkaar te passen, maar zonder resultaat.

Alvast bedankt voor enige hulp die u kan bieden.

Mvg,
Tom

Tom
9-2-2004

Antwoord

De stelling klopt wel degelijk voor n=4.
4! is gelijk aan 24, en 42 is gelijk aan 16, en 24 16
Dus dat gelijkteken staat er helemaal terecht.
De tweede en derde keer heb je wel gelijk: daar hadden ze ook wel een kunnen gebruiken. Maar: er is al in een eerder stadium een aangetoond, dus mag je volstaan in je bewijs met een . Het is dus niet fout, maar inderdaad een beetje raar.

Dan de stap naar: voldoende TB.
Je moet aantonen dat (k+1)! (k+1)2
Je weet dat (k+1)! = (k+1)k! en dat dit volgens de inductieaanname groter is dan (k+1)k2
Nu moet je dus hiermee verder, en dus aantonen dat dit laatste (k+1)2 is. Zo komt men aan
TB: (k+1)k2 (k+1)2
TB: k3 + k2 k2 + 2k + 1
TB: k3 2k + 1
enz.
Ik hoop dat het zo iets duidelijker geworden is. Valt niet mee zo via tekst...
succes,

Anneke
9-2-2004


© 2001-2021 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#20045 - Bewijzen - Student universiteit