WisFaq!

Groep orde 77 steeds cyclisch

Hallo,


weet iemand hoe je moet bewijzen dat een groep van orde 77 steeds cyclisch is?

Koen
25-1-2004

Antwoord

Hoi Koen,

Algemeen voor een groep G van orde pq, met p en q verschillend en priem:

P is de deelgroep van elementen van orde p, Q die van orde q. De doorsnede van P en Q is enkel e, want een element dat in P en Q zit, heeft orde een deler van p en van q, dus orde 1. Bovendien: |P|=p en |Q|=q.

|P U Q|=p+q-1
Aantal elementen in G, niet in P of Q: pq-p-q+1
Kies g zo een element, niet in P of Q. g heeft orde 1,p,q of pq. Als g orde 1 of p of q had, had het in P of in Q moeten zitten, wegens de uniciteit van de deelgroep. g zit daar echter niet in, dus g heeft orde pq.

Dus moet G cyclisch zijn met elementen g, g², g³,..., g⁷⁷=e.

Over die uniciteit ging men nogal vlot op http://weyl.math.virginia.edu/~hnw/Math354/examsols235403.pdf ik hoop dat je er iets aan hebt...

Succes morgen, nuja, straks.

Christophe.

Christophe
26-1-2004