WisFaq!

Differentiaalvergelijking

Ik heb een probleem met de volgende differentiaalvergelijking : y'' + ky = 0
Als ik het oplos met behulp van de karakteristieke vergelijking, bekom ik r² + k =0
dus is r² = -k en is r = de positieve of de negatieve
iÖk .Hoe kan ik met behulp van die gegevens aan het volgende antwoord geraken?
-als k 0 : C1 e(tot de macht -Ö-kx) + C2 e(tot de macht Ö-kx)
-als k=0 : C1+C2x
-als k 0 : C1 sin(Ökx) + C2 cos(Ökx)

dank u voor uw hulp
Peggy

Peggy
24-1-2004

Antwoord

Hallo,

na het berekenen van je karakteristieke vergelijking krijg je dat r²=-k.

Nu moet je onmiddellijk het onderscheid maken tussen k0, k=0 en k0.

1e geval: k0

dan is r²=-k0 en dus r=Ö(-k) of r=-Ö(-k)
Je hebt dus twee verschillende reële wortels.
De algemene oplossing is dan C₁e^(Ö-k)x+C₂e^-(Ö-k)x

2e geval: k=0

dan is r²=0 en dus is r=0. Je krijgt bijgevolg een dubbele wortel.
De algemene oplossing wordt dan C₁+C₂x

3e geval: k0

Dan is r²=-k0 en dan is r=+iÖk of r=-iÖk
Je krijgt twee complex toegevoegde wortels.
Neem nu één van die wortels bv r=iÖk en stel p gelijk aan het reële deel van r en q gelijk aan het imaginaire deel van r
Dus: r=iÖk = 0+i Ök dus p=0 en q=Ök
De algemene oplossing wordt dan gegeven door de volgende formule: C₁e^pxsin(qx)+C₂e^pxcos(qx)
en dan krijg je hier C₁sin((Ök)x)+C₂cos((Ök)x)

Mvg,

Els
26-1-2004