WisFaq!

Integraal cosinus

Ik heb een probleem met het oplossen van volgende integraal
$\int{}$cos⁶x dx

Steven De Keukeleire
24-1-2004

Antwoord

Hallo Steven,

Voor even machten van cosinus of sinus moet je altijd hetzelfde doen: zet ze om naar een som van termen van de vorm cos(kx) of sin(kx). Er bestaat een handige driehoek (lijkt sterk op de driehoek van Pascal) die toelaat een nde macht van cosinus meteen om te zetten in een som van cos(kx) met k gaande van 0 tot n. Jammer genoeg kan ik die hier niet terugvinden...

NB: voor oneven machten van cos moet je één cos afsplitsen, die schrijven als d(sin), de overgebleven (even) macht van cos schrijven als even machten van sin via cos²+sin²=1 en dan is de integraal opgelost.

Dan maar specifiek voor deze opgave:
cos(6x)=4cos³(2x)-3cos(2x)
= 32cos⁶(x)-48cos⁴(x)+18cos²(x)-1.

Dus cos⁶(x)=1/32 * (cos(6x)+48cos⁴(x)-18cos²(x)+1) (1)

De macht is al gedaald tot 4, bereken dus nu cos(4x):
cos(4x)=8cos⁴(x)-8cos²(x)+1

Dus cos⁴(x)=1/8 * (cos(4x)+8cos²x-1)
Dit kan je invullen in (1)

En weer is de macht gezakt, de cos²x blijft nog over, maar vermits
cos(2x)=2cos²(x)-1, kan je ook die wegwerken.

Je krijgt dus een som van cos(6x), cos(4x), cos(2x), 1, ik kwam op 1/32 * (cos(6x)+6cos(4x)+15cos(2x)+10). En die vier integralen zijn basisintegralen.

Groeten,

Christophe
25-1-2004