WisFaq!

Projectie, afbeelding, lijn, punt

hoi.. een vraaaaaaagje:
stel de lijnen (D) en (P) snijden elkaar in O en k een reeel getal niet gelijk aan 0.
f is de afbeelding van P naar P die elk punt M verbindt met M' volgens de volgende relatie:

voor elk punt M van het vlak P, I is de projectie van M op (D) evenwijdig met (P), en M' is gedefineerd bij deze gelijkheid : IM'=k*IM ( vectoren)
1. wat kun je zeggen over f als k=1?
als k=1 dan IM'=IM en dus M=M'
f is dus de identieke afbeelding
2. stel k¹1 , bepaal de verzameling van de invariante punten onder f.
voor elk punt N in (D) de projectie van N op (D) evenwijdig met (P) is I, omdat N Î (D) is I=N en dus
IN=k*IN'=0 want I=N en dus I=N' en hieruit N=N'.
conclusie de verzameling van de invariante punten onder f is de lijn (D).

3. toon aan f is een bijectie.
?? ik dacht: eerst aantonen dat f geen ( injectie, surjectie) en wilde twee gevallen bestuderen: M Ï(D) en MÏ(D) .....
bepaal het reele getal k zodat f^-1 = f
ik denk dat k=1 ....
4. toon aan dat het beeld van de lijn (L) onder de afbeelding f is de lijn (L') ( f(L)=L')

in welk geval is (L)=(L') ?
alvast bedankt

Projecteur
21-1-2004

Antwoord

1. heb je goed gedaan.
2. Je hebt goed aangetoond dat de punten van D invariant zijn, maar moet je nog aantonen dat buiten D geen punten liggen die invariant zijn.
3. Dit bestaat (als ik het goed lees) uit twee delen. Eerst aantonen dat f een bijectie is.
Dan moet je juist aantonen dat f zowel injectie als surjectie is.
Dus: van een willekeurig punt in vlak P moet je aantonen dat het beeld weer in P ligt, en vervolgens toon je aan dat twee verschillende punten nooit hetzelfde beeldpunt hebben.
Tweede deel: f^-1 = f, dat geldt niet alleen als k=1, maar ook als k=-1.
Dit kun je aantonen door f twee keer achter elkaar toe te passen. Er geldt dan:
f_k°f_k = f_k²
Dit moet de identieke afbeelding zijn, dus k²=1.
4. Van de lijn (L) kun je een vectorvoorstelling maken, en van elk punt krijg je dan een beeldpunt. Deze beeldpunten leveren weer een vectorvoorstelling van een lijn.
Alle lijnen evenwijdig aan P worden op zichzelf afgebeeld.
Hopelijk is dit duidelijk.
groet,

Anneke
23-1-2004