WisFaq!

Bewijs van Cauchy-zijn van een rij

Ik heb de reeks x_n waarin x_n = 5n/(3n+1) en ik moet bewijzen dat deze Cauchy is (in R), ofwel:

* Voor alle e0, bestaat er een N zodat als m,nN |x_n - xm| e

Gezien het Cauchy-zijn equivalent is aan het convergent zijn, en het snel te zien (en te bewijzen) is dat deze reeks
naar 5/3 convergeert, hoef ik in feite voor het Cauchy-zijn enkel te verwijzen naar deze convergentie.

Echter, ik vroeg mij af of het mogelijk was om zonder het gebruik van deze convergentie,
aan te tonen dat de rij Cauchy is. Dus direct m.b.v. de definitie (*). Dit wil mij zelf maar niet lukken.

Bedankt voor de moeite.

Ruben
20-1-2004

Antwoord

Hallo Ruben,

Als je een paar grote waarden invult voor n, zie je dat je rij langs onder naar 5/3 nadert.

vb: x₁₀₀₀ = 5000/3001 = 1,66611... 5/3

De bedoeling is: je krijgt een e, zoek de bijhorende N-waarde. Wel, als je N bepaalt zodanig dat
x_N5/3-e
dan zal voor elke n,mN gelden:
x_nÎ]5/3 - e,5/3[
x_mÎ]5/3 - e,5/3[

zodat |x_n-x_m|e

Dus rest alleen nog de ongelijkheid op te lossen:
x_N5/3-e

of dus: 5N/(3N+1) 5/3-e oplossen naar N, en afronden naar boven.

De definitie (*) geldt dus, en het is dus een Cauchyrij.

Groeten,

Christophe
20-1-2004