WisFaq!

Derdemachts wortel uit een complex getal

Beste mede-beantwoorders,
Was bezig met een uitwerking van een derdegraads functie en kwam op het volgende probleem:
³√(-595/27+4i√(3))
Dit is gelijk aan (5+4i√(3))/3
Maar hoe kom je daar op?

Ik heb zelf eerst het probleem gereduceerd naar:
³√(-595+108i√(3)) = 5 + 4i√(3)
Om dit probleem op te lossen heb ik -595+108i√(3) omgezet in de vorm re^i$\Phi\pi$
Met dus r=73√(73) en $\Phi$=$\pi$-arctan(108√(3)/595)

Vervolgens de boel opsplitsen en herschrijven geeft:
√(73)/2 · cos(arctan(108√(3)/595)/3) +√(3)√(73)/2 · sin(arctan(108√(3)/595)/3) + i( √(3)√(73)/2 · cos(arctan(108√ - √(73)/2 · sin(arctan(108√(3)/595)/3)(3)/595)/3) )

Wat ik dus eigenlijk nu wil aantonen is:
√(73)/2 · (cos(arctan(108√(3)/595)/3) +√(3)· sin(arctan(108√(3)/595)/3)) = 5

Het imaginaire gedeelte moet dan wel lukken.

Mijn eigen goniometrie kennis is helaas niet al te goed en hoop dat iemand voor mij een oplossing of een hint heeft.
Alvast bedankt.

M.v.g.
PHS

Peter
17-1-2004

Antwoord

Je wilt dus de a en de b vinden bij (a+ib)³=-595+108√3i.

Die aanpak via die complexe e-macht levert als probleem dat je een formule zou moeten hebben voor cos(¹/₃x) en zo.
Uit cos(3x)=4cos³(x)-3cos(x) en sin(3x)=3sin(x)-4sin³(x) is duidelijk dat dit ogenblikkelijk weer derde graads vergelijkingen oplevert.

Ik heb het volgende bedacht:
Neem z=a+ib
z³=a³+3a²bi-3ab²-b³.
Dus
Re(z³)=a³-3ab²=a(a²-3b²)=-595
IM(z³)=3a²b-b³=b(3a²-b²)=108√3
Bovendien weet je dat a²+b²=73.
Door dit laatste in te vullen in de bovenste twee heb je zonder een spat gonio twee vergelijkingen die je 'op zijn Cardano's' of iets soortgelijks kunt oplossen.
Maar:
we kunnen nog even verder kijken,
zonder probleem kunnen we stellen b=p√3.
Als we dit in de bovenste twee vergelijkingen invullen levert dit na herschrijven:
a(a²-9p²)=-595
p(a²-p²)=36.
en a²+3p²=73
Als we nu even alleen naar 'mooie' oplossingen willen zoeken, d.w.z. oplossingen waarbij a en p geheel zijn, dan is duidelijk dat a een deler moet zijn van -595 en p een deler van 36.
Omdat 595=5·7·17 en 36=2²·3²ligt het voor de hand met a te beginnen.
a=1 levert 1-9p²=-595 dus 9p²=596 dus niet geheel,
a=-1 levert 1-9p²=595, geen oplossing.
a=5 levert 25-9p²=-119, 9p²=144 dus p²=16, dus p=+/-4.
a=5 en p=-4 voldoen niet aan p(a²-p²)=36.
a=5 en p=4 voldoen aan p(a²-p²)=36 en a²+3p²=73.

Zo kun je vrij vlot 'mooie' waarden voor a en b vinden door gebruik te maken van ontbindingen.

hk
18-1-2004