WisFaq!

Y` = sin(y/x) + y/x de substitutie en hoe verder?

ik heb in bovengegeven differentiaalvergelijking het volgende gedaan:
substitutie: u=y/x dan is y=ux en y'=u+xu'
invullen in de DV geeft: u+xu'=sin(u)+u
dit wordt dan: x.du/dx=sin(u) dan "scheidt ik de variabelen als volgt: du/sinu = dx/x dan doe ik aan beide zijde de integraal nemen dit wordt dan int(1/sin(u)du = int(1/x)
En hier raak ik het spoor bijster. Volgens het boek moet er
2x.arctan(cx) uitkomen. Daar ik geen verband zie tussen waar ik uitgekomen ben en de uitkomst lukt het me ook niet om er "naar toe te werken". Graag een hint hoe nu verder.
alvast bedankt en met vriendelijke groeten,
Giel Peters

M.B. Peters
15-1-2004

Antwoord

Hoi,

Je splitsing ziet er goed uit.

We bekijken de situatie voor x$>$0.
A=$\int{}$dx/x=ln(x)+c'
B=$\int{}$du/sin(u)=$\int{}$sin(u).du/sin²(u)=$\int{}$sin(u).du/sin²(u)=-$\int{}$d(cos(u))/(1-cos²(u))
Neem t=cos(u), zodat alvast -1$\leq$t$\leq$1, dan wordt
B=-$\int{}$dt/(1-t²)

Met 1/(1-t²)=[1/(1+t)+1/1(1-t)]/2 hebben we:
B=-1/2.$\int{}$dt/(1+t)-1/2.$\int{}$dt/(1-t)=-1/2.ln(1+t)+1/2.ln(1-t)=1/2.ln[(1-t)/(1+t)]+c'.

A=B, zodat:
ln(x)+c'=1/2.ln[(1-t)/(1+t)]+c' en:
x=sqrt[(1-t).(1+t)].e^c'/c'
Met c=e^c'/c':
cx=sqrt[(1-t)/(1+t)]

Hieruit haal je t=(1-c²x²)/(1+c²x²), zodat u=bgcos[(1-c²x²)/(1+c²x²)] en y=x.bgcos[(1-c²x²)/(1+c²x²)]. Op het eerste zich niet helemaal wat je wou... Misschien een rekenfout .

Als je y=2x.bgtg(cx) invult in je diff.vgl, dan blijkt dat toch te kloppen. Bedenk dat 1/sin²(z)=1+1/tg²(z) en 1/cos²(z)=1+tg²(z). Voor z=bgtg(cx), kan je zo sin(z) en cos(z) schrijven in functie van cx.

Even kijken of bgcos[(1-z²)/(1+z²)]=2.bgtg(z). Neem v=bgtg(z), dan is z=tg(v) en (1-z²)/(1+z²)=(1-tg²(v))/(1+tg²(v))=(cos²(v)-²(v))/(1)=cos(2v), zodat bgcos[(1-z²)/(1+z²)]=2v=2.bgtg(z)... Het klopt dus inderdaad.

Dit achterwaarts goochelen kon je vermijden door een iets slimmere gonio-substitutie te doen op $\int{}$du/sin(u), namelijk door sin(u)=2t/(1+t²) te nemen met t=tg(u/2) - denk aan de klassieke t-formules... Euh... een heel stuk makkelijker in elk geval op die manier...

Groetjes,
Johan

andros
15-1-2004