WisFaq!

Afgeleiden

kunt u even narekenen of hetvolgende juist is uitgevoerd.
vraag f'(1)als f(x)= x^(x).ln(1/x)
antwoord f'(1) = -1

bedankt voor de controle

Yvonne
13-1-2004

Antwoord

Hoi,

Inderdaad geen makkelijke.

Om het overzichtelijk te houden, kappen we hem in stukjes:
f'(x)=[x^x]'.ln(1/x)+x^x.[ln(1/x)]'

Om [x^x]' te berekenen, gaan we hier via een tussenstapje (altijd handig om die functies van x in de exponenten weg te werken).
We nemen g(x)=ln(x^x) en berekenen g'(x).
Dan hebben we: g'(x)=[x^x]'/x^x, zodat:
[x^x]'=x^x.g'(x). En g'(x) is makkelijk te berekenen: g(x)=x.ln(x), dus is g'(x)=[x]'.ln(x)+x.[ln(x)]'=ln(x)+1.
Dus is [x^x]'=x^x.(ln(x)+1)

[ln(1/x)]'=[-ln(x)]'=-1/x of als je dit te makkelijk vindt:
[ln(1/x)]'=1/(1/x).[1/x]'=x.(-1/x²)=-1/x.

Je kan dan een uitdrukking opstellen voor f'(x), maar aangezien je bent enkel geïnteresseerd in de waarde in x=1 kan het met minder schrijfwerk:

[x^x]'=1¹.(ln(1)+1)=1
[ln(1/x)]'=-1/1=-1
f'(x)=[x^x]'.ln(1/x)+x^x.[ln(1/x)]'=1.ln(1/1)+1¹.(-1)=1.0+1.(-1)=-1.

Je berekening was dus dik in orde.

Samengevat:
1. hou het overzichtelijk
2. herhaal jezelf niet teveel (zo vergeet je enkel dingen over te schrijven)
3. denk aan het truukje met ln() om functies in de exponenten eenvoudiger te behandelen

Groetjes,
Johan

andros
13-1-2004