WisFaq!

Deelruimten bewijzen

zij T: V - W een lineaire afbeelding. Hoe bewijs je dan dat de (ker T) een deelruimte van V is, en dat het (bld T) een deelruimte van W is?
Is het dan analoog om te bewijzen dat een eigenruimte van V (met eigenwaarde l) een deelruimte van V is
(met T: V - V)?
Dus wat is de manier om dit soort bewijsjes op te lossen: nl. deelruimten bewijzen.

Alvast bedankt.
jef

jef
11-1-2004

Antwoord

Als je wil aantonen dat een ruimte deelruimte is van een andere vectorruimte moet je de definitie van deelruimte nagaan rekening houdend met de speciale voorwaarde waarvan de vectoren in je ruimte voldoen.

Definitie deelruimte: U is deelruimte van V asa
(i) 0 Î U
(ii) "u₁,u₂ÎU,"a,bÎK: au₁+bu₂ÎV

Vb. Stel T:V-W met V een vectorruimte over een veld K
De ker(T)={x ÎV: T(x)=0}

Bij een lineaire afbeelding wordt 0 altijd op 0 afgebeeld dus 0 Î ker(T).
Het enige wat dus moet aangetoond worden is dat voor alle
vectoren x,y uit de ker(T), elke lineaire combinatie ook behoort tot de kern.
Dus: controle is ax+by Î ker(T)
T(ax+by)=aT(x)+bT(y) want T is lineaire afbeelding
= 0 want x,y Î ker(T)
Dus de ker(T) is deelruimte van V.

Mvg,

Els
13-1-2004