WisFaq!

Touw om de aarde

Stel je hebt een strak touw om de aarde gespannen en je maakt het 10 cm langer, en houdt het strak. Er vormt zich nu een hoek in het punt dat het touw vast hebt. Hoe groot is de afstand tot het aardoppervlak vanaf dit punt. R-aarde = 6400 km. Oplossingsmethode loopt vast, kan iemand mij helpen?

Aan beide zijden komt er een raakpunt aan het aardoppervlak, de afstand vanaf deze raakpunten tot het punt waar je het touw vast hebt zijn 5 cm langer dan de booglengte van waar je staat tot het raakpunt. Dit is wat ik er over kan formuleren tot nog toe.

Kleine Bo
6-1-2004

Antwoord

Hoi,

Intuïtief zal dat nihil zijn. Maar daar neem je wellicht geen genoegen mee. Iets rationeler dan maar.

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Vanuit punt p op hoogte h kijken we naar een perfecte bol met straal R. We zien de horizon op een afstand t.

Pythagoras leert dat R²+t²=(R+h)², waaruit: t²=2.R.h+h².

De aarde heeft omtrek 2$\pi$.R en de lengte van de 'verrokken' omtrek door p is 2.t+(2$\pi$-2$\alpha$)R. Het verschil is d=2.(t-$\alpha$R). In je vraag is d=10cm.

We hebben verder nog dat $\alpha$=bgcos(R/(R+h)).

Hiermee moeten we het doen.

De wiskundige elimineert:
t²=2.R.h+h², dus ($\alpha$R+d/2)²=2.R.h+h², zodat:
(bgcos(R/(R+h)).R+d/2)²=2.R.h+h². Een pracht van een vergelijking waar we zo numerisch 0-punten voor zoeken...

De ingenieur denkt iets praktischer:
h$<<$R, dus is R/(R+h)$\approx$1, zodat $\alpha$$\approx$0 en t$\approx$d/2.
Bovendien zal ook omdat h$<<$R: h²$<<$2.R.h, zodat we bij benadering hebben: t²=2.R.h of h=t²/2R=d²/8R.

De precieze waarde van h zal er niet echt toe doen, toch ? Hoe nauwkeurig is onze benadering van de aarde door een bol trouwens...?

Groetjes,
Johan

PS: Omdat ik dacht dat deze me bekend voorkwam; hetzelfde en toch heel anders: Texel zien vanaf de Domtoren...

andros
6-1-2004