WisFaq!

Som, som en nog eens som...

Hallo,

Ik heb een aantal vragen die allemaal iets met sommeren te maken hebben.

Op de site van Dr.Math heb ik gelezen hoe je kunt berekenen wat de kans is dat bij het lotjes trekken niemand zichzelf trekt (ik heb die site bezocht via links op deze site van eerder beantwoorde vragen).
Als ik het goed begrijp, kun je concluderen dat 5nCr1-5nCr2+5nCr3-5nCr4+5nCr5 op 1 uitkomt, maar dat dit ook voor alle andere getallen geldt, bijv.: 4nCr1-4nCr2+4nCr3-4nCr4 komt ook op 1 uit.
De formule die op deze site staat voor het Sinterklaasprobleem, met dat rare teken dat op een E lijkt, snap ik überhaupt niet.
1) Is hiervoor een bewijs (misschien op basis van inductie)? (in mensentaal)

Stel: de som van 3 getallen moet 10 zijn. Hoeveel mogelijkheden zijn er? Volgens een antwoord op deze site is dat 12nCr2. Dat snap ik, maar dan zitten in de uitkomst je ook alle permutaties.
2) Hoe reken je bij dit soort vraagstukken uit hoeveel verschillende mogelijkheden er zijn als permutaties NIET zijn toegestaan? (graag toelichten met een duidelijk voorbeeld)

De volgende vraag heeft misschien te maken met het uitrekenen van de som van 50+49+48+47+46.....+1.
Een deelnemer aan een marathon merkt op dat de som van de startnummers die groter zijn dan zijn nummer even groot is als de som van de startnummers die kleiner zijn dan zijn startnummer. Aantal deelnemers (d) aan de marathon= 10d100.
3) Hoe reken je uit wat het startnummer van deze pientere deelnemer is en wat het totale aantal deelnemers aan de marathon is?

Groeten en alvast heel erg bedankt,
Roel

Roel
4-1-2004

Antwoord

Hoi,

Het E-teken waar je het over hebt, is het sommatieteken å. Het betekent dat je alle instanties van een vermelde algemene term moet optellen waarbij één of meer variabelen over een bepaald bereik lopen en alle mogelijk waarden daarin aannemen. Je hebt het verder over het Sinterklaasprobleem. Toegegeven: Dr.Math is soms wat summier, daarom een paar kleine aanvullingen onzentwege: Sinterklaas en Bernoulli en Lootjes trekken volgens Anneke.
De eigenschap waar je het over hebt, volgt uit het Binomium van Newton: (1+x)ⁿ=sum(nCi.xⁱ:i=0..n). Neem x=-1 en isoleer de termen voor i>0 aan de andere kant van het '='-teken.

Voor je tweede vraag is Partities tellen definitely the place to be…

Derde vraag dan. Er zijn n deelnemers met nummer 1,2,3,…,n en de deelnemer met rugnummer k ziet dat de som van alle rugnummers kleiner dan k en die van alle rugnummers groter dan k precies gelijk zijn. De som van alle getallen van 1 tot en met n is gegeven door n.(n+1)/2. Die kleiner dan k door k.(k-1)/2 en die groter dan k dus door n.(n+1)/2-k.(k+1)/2. De gelijkheid van beide sommen wordt dan uitgedrukt als: k.(k-1)/2=n.(n+1)/2-k.(k+1)/2 of na herwerken: 2.k²=n.(n+1). Je kan dit herleiden tot Pell-vergelijkingen, maar voor n tussen 10 en 100 lijkt uitlijsten in Excel me de beste benadering: n=49 en k=35 is de enige oplossing. De sommen van de rugnummers kleiner dan en die groter dan 35 zijn beide 595. Andere mogelijke oplossingen voor (n,k) met n tussen 100 en 14000 zijn: (288,204), (1681,1189) en (9800,6930). Interessante aanvulling: als we n niet beperken, zijn er dan oneindig veel oplossingen?

Nog vragen, meer detail nodig, laat maar weten met een 'reactie'; maar probeer eerst of je hiermee niet zelf wat kan puzzelen!

Groetjes,
Johan

andros
6-1-2004