WisFaq!

Wat is een veld, een vectorruimte en een commutatieve groep?

Ik had graag eens voor mezelf duidelijk willen stellen wat nu juist het verschil is tussen een vectorruimte, een veld (dat voldoet aan de veldaxioma's van bv. optelling en vermenigvuldiging) en een commutatieve groep.
Can anybody help me?

Eli
27-2-2004

Antwoord

Een veld K is een verzameling die niet leeg is, waarop twee bewerkingen (een optelling en een vermenigvuldiging) zijn gedefinieerd die voldoen aan een aantal voorwaarden. De optelling van twee elementen a en b uit het veld K noteert men meestal met a + b en de vermenigvuldiging van a en b met a * b, a . b, , of kortweg ab. De voorwaarden waaraan de optelling en de vermenigvuldiging moeten voldoen zijn:

1. Voor alle elementen a en b uit K, zullen a + b en a * b weer tot K behoren.
   K is gesloten voor de optelling en de vermenigvuldiging
   
2. Voor alle elementen a, b en c uit K, zal ( a + b) + c = a + (b + c) en (a*b)*c=a*(b*c).
   De optelling en de vermenigvuldiging zijn associatief.
   
3. Er bestaat een element 0 uit K zodat voor alle a uit K geldt dat a+0 = 0 + a = a.
   Men noemt 0 het neutraal element (voor de optelling).
   
4. Voor elk element a uit K bestaat er een element -a uit K zodat a+(-a) = 0 en -a + a = 0.
   Elk element uit K heeft een invers voor de optelling.
   
5. Voor alle elementen a en b uit K zal a + b = b + a.
   De optelling is commutatief.
   
6. Voor alle elementen a, b en c uit K, zal a*(b+c) = a*b + a*c.
   De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling.
   
7. Er bestaat een element 1 uit K zodat voor elk element a uit K geldt dat 1*a = a * 1 = a.
   Men noemt 1 het eenheidselement van K.
   
8. Voor elke element a uit K met a verschillend van 0 bestaat er een element a^-1 uit K zodat a*a^-1 = 1 = a^-1*a.
   Elk niet-nul element uit K heeft een invers voor de vermenigvuldiging.
   
9. Voor alle elementen a en b uit K zal a*b = b*a.
   De vermenigvuldiging is commutatief.
   
10. 0 is niet gelijk aan 1.

Een vectorruimte V over een veld K is een verzameling van vectoren, waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd: een optelling (die niet noodzakelijk overeenkomt met de optelling van "gewone" getallen, waarmee we vertrouwd zijn) van twee vectoren, en een scalaire vermenigvuldiging van een scalair (een element uit het veld K) met een vector. Deze bewerkingen moeten voldoen een aantal voorwaarden. Als we de optelling noteren met "+", de scalaire vermenigvuldiging met "*", drie (al dan niet verschillende) willekeurige vectoren uit V met u, v en w en twee willekeurige scalairen uit K met a en b, zijn deze voorwaarden:

1. v + w is weer een vector uit V
   V is gesloten onder de optelling van vectoren
   
2. u + (v + w) = (u + v) + w
   De optelling van vectoren is associatief.
   
3. Er bestaat een element 0 uit V zodat voor alle vectoren v uit V geldt dat
   0 + v = v = v + 0.
   0 wordt het neutraal element genoemd ("het neutraal element" omdat men kan aantonen dat het uniek is).
   
4. Voor alle vectoren v bestaat er een vector -v zodat v + (-v) = 0
   -v noemt men het inverse element van v.
   
5. v + w = w + v
   De optelling van vectoren is commutatief.
   
6. a * v is weer een vector uit V.
   V is gesloten onder de scalaire vermenigvuldiging.
   
7. a * (b * v) = (a * b) * v
   De scalaire vermenigvuldiging is gemengd assosiatief.
   (Gemengd omdat het gaat over twee verschillende bewerkingen : in het linkerlid wordt een scalaire vermenigvuldiging gevolgd door weer een scalaire vermenigvuldiging. In het rechterlid wordt een gewone vermenigvuldiging gevolgd door een scalaire vermenigvuldiging.
   De bewerking * in (a * b) is dus een andere bewerking dan de andere drie * )
   
8. Als 1 het eenheidselement is van K, dan zal 1 * v = v.
   Het eenheidselement uit K is neutraal element voor de scalaire vermenigvuldiging.
   
9. a * (v + w) = a * v + a * w
   Distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling van vectoren.
   
10. (a + b) * v = a * v + b * v
    Distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging ten opzichte van de optelling van scalairen. Merk op dat met "a + b" de optelling van twee scalairen in het veld K wordt bedoeld. Dit is niet dezelfde optelling als de optelling die in "v + w" gebruikt wordt om twee vectoren "op te tellen".

Je hebt een groep als voldaan is aan de eerste vier voorwaarden voor vectorruimtes. Iedere vectorruimte is dus een groep.

Een commutatieve groep is een speciale groep. Je hebt daar namelijk nog de commutativiteit (voorwaarde vijf van vectorruimtes) nodig.
Hopelijk biedt dit antwoord enige hulp.
Mvg,
SB

Zie Wikipedia - vectorruimte [http://nl.wikipedia.org/wiki/Vectorruimte]

Bart
27-2-2004