De examens naderen en tijdens het doorworstelen van de cursus complexe getallen ben ik op een
probleempje gestoten, ik moet deze derdegraads vergelijking oplossen met de methode van Cardano.
opgave
z3-9z2+33z-119=0
ik ben als volgt tewerk gegaan:
1) ik verschuif de onbekende: z=x+a
2) en reken uit
(x+a)3-9(x+a)2-33(x+a)-119=0
= x3+(3a-9)x2+(3a2-18a+33)x+a3-9a2+33a-119=0
3)ik stel (3a-9)=0 dan wordt a=3
dit invullen geeft:
x3+6x-74=0
4) nu stel ik x=u+v
en wordt de vergelijking
(u+v)3+6(u+v)-74=0 ontbinden
= u3+3u2v+3uv2+v3+6(u+v)-74=0
= u3+v3+(3uv+6)(u+v)-74=0
(doordat ik die twee variabelen gekozen heb mag ik een extra voorbeeld kiezen)
ik stel 3uv+6=0 - uv=-2 - u3v3=-8
de vgl wordt dan
= u3+v3-74=0
= u3+v3=0
5) ik stel u3=U en v3=V
dit zijn nu de oplossingen van de vierkantsvergelijking (cfr. som en product)
S2+74S-8=0
Discriminant=D=742-32=5444 (jullie noemen dit de ABC-formule of zoiets)
U=(-74+[wortel]D)/2 0 =P - u3=P
V=(-74-[wortel]D)/2 0 =Q - v3=-Q
nu probeer ik verder te rekenen...
u en v zouden dus gelijk moeten zijn aan de derde machtswortel van P en -Q
daar zit ik vast, Hoe neem ik die wortels en reken ik verder om uiteindelijk tot een uitkomst
van z te bekomen.
Wat ik uitkom stemt niet overeen met de oplossing die ik in mijn cursus
vind. Er zijn drie oplossingen één daarvan is z=[wortel3]16+[wortel3]4=4,10724
Dank bij voorbaat, en ....
een gelukkig nieuwjaar!!
groeten,
Wimwim
30-12-2003
Beste Wim,
Natuurlijk ook een gelukkig nieuwjaar.
Als ik je probleem uiteindelijk juist begrijp gaat het je om het oplossen van een derdemachtswortel.
3Öc=z
Dit mogen we natuurlijk ook schrijven als:
c=z3
Je hebt duidelijk al wat kennis in huis van complexe getallen en ik neem dus aan dat je van een complex getal in de vorm van a+bi kan herschrijven naar r·e(F+2kp)i
Dus in het algemeen kunnen we stellen:
zn=c
zn=r·e(F+2kp)i
z=r1/n·e(F/n+2kp/n)i
Voor k=0,1,2,...,n-1 vinden we precies alle (verschillende) complexe oplossingen van de vergelijking zn=c. Het argument F/n+2kp/n kan indien nodig teruggebracht worden tot de hoofdwaarde.
Als voorbeeld:
z3=8
Uitwerking:
z3=8+0·i
r=Ö(82+02)=8
F=arg(8+0·i)=0
Dan is de vergelijking te schrijven als:
z3=8·e(0+2kp)i
z=81/3e(2kp/3)i
k=0 =z0=81/3e(2·0p/3)i
= 81/3
= 2
k=1 =z1=81/3e(2·p/3)i
= 81/3(cos(2p/3)+i·sin(2p/3))
= 2(-1/2+i·Ö(3)/2)
= -1 + iÖ(3)
k=2 =z2=81/3e(2·2·p/3)i
= 2(cos(4p/3)+i·sin(4p/3))
= 2(-1/2+i·-Ö(3)/2)
= -1 - iÖ(3)
Dit hele verhaal is voornamelijk gebaseerd op de stelling van De Moivre (Abraham de Moivre, 1667 - 1754), die luidt:
(cos F + i sin F)n = cos nF + i sin nF met n Î
Verder nog een kleine opmerking. Je schrijft:
u^3+v^3-74=0
u^3+v^3=0
Dan zou -74=0 waarschijnlijk bedoelde je:
u^3+v^3=74
Voor meer info over de methode van Cardano kun je ook eens kijken op: Derdemachtswortel
M.v.g.
PHS
PHS
2-1-2004
#18074 - Complexegetallen - Student Hoger Onderwijs België