WisFaq!

Formule maken

Ik kwam op internet onderstaande figuren tegen en het schijnt mogelijk te zijn het aantal driehoeken te vinden bij een n aantal driehoekjes aan de grens van de figuur. dus bijvoorbeeld bij n=1 is er 1 driehoek mogelijk, bij n=2 5 driehoeken, bij n=3 13 en bij n=4 27. Maar is er een formule die een verband geeft tussen deze twee waarden dus tussen n en het aantal mogelijke driehoeken. Ik heb van alles geprobeerd maar kom er niet uit.
Zouden jullie me misschien kunnen helpen? Het moet kunnen.

Imp
20-7-2001

Antwoord

Het kan zeker....!
0,1,5,13,27,48,78,118,170,235,315,411,525,658,812,988,1188,
1413,1665,1945,2255,2596,2970,3378,3822,4303,4823,5383,5985,
6630,7320,8056,8840,9673,10557,11493,12483,13528,14630,
15790,17010,18291,19635,21043,22517

En de formule weet ik ook wel....!
n -> n(n+2)(2n+1)/8 is bijna goed... alleen bij de oneven termen steeds een achtste te veel...
Dus zoiets als ROUND(....) zou al goed zijn...

Volgens onderstaande url is dit de goede formule:
n -> (1/16)*[2n(2n+1)(n+2)+cos(pi*n)-1]

Maar ja hoe kom je er op?
O ja, reeksen kun je opzoeken bij sequences/index.html
Gewoon invullen 1,5,13,27 en je krijgt een overzicht van mogelijke reeksen.

Leuk wel, want als je kijkt naar de 'derde verandering' : +2 +1 +2 +1 +2
Vandaar die rare constructie met cos(pi*n) waarschijnlijk...

Blijft de vraag... hadden we dit niet zelf kunnen afleiden?

Het lijkt trouwens sprekend op dat gedoe met die vierkantjes van vervelende puzzel.

Daar doet zich het zelfde probleem voor, maar dan met vierkanten. Deze rij (1,5,14,30,55,91,...) is makkelijker... omdat er steeds een kwadraat bijkomt.
Zodat de waarde van S(n)=SOM(voor n=1 t/m 4) van nČ
Deze formule lijkt sprekend op die van de driehoekjes:
n -> n(n+1)(2n+1)/6

WvR
20-7-2001