WisFaq!

Eenheden in een ring

Gegeven de ring R=[^(1+Ö(-19))/₂]. Dit is de deelring van voortgebracht door en ^(1+Ö(-19))/₂
Hoe bepaal je de eenheden in deze ring. (eenheden: de elementen die een inverse hebben voor de vermenigvuldiging)
Is er een algemene methode voor die gevallen. Ik geraak er niet goed uit

Koen (km)

Koen
26-12-2003

Antwoord

Jow Koen...

Ik ben voor mijn thesis met ongeveer hetzelfde bezig geweest, dus ik denk dat ik je wel min of meer kan helpen.

Alle elementen in deze ring zijn van de vorm a+bu waarbij ik met u bedoel: ^1+iÖ19/₂
Dit komt omdat je u² kan schrijven als combinatie van 1 en u.

Gevraagd: is a+bu een eenheid?
(a+bu)(c+du)=1
1=ac+u(bc+ad)+bdu²

Maar u² kan je makkelijk berekenen, dat is u-5. Kan je doen door gewoon distributiviteit toe te passen, of door op te merken dat u een wortel is van X²-X+5.

Dus er komt:

1=ac+u(bc+ad)+bd(u-5)

Opsplitsen in een 1-deel en een u-deel:

1=ac-5bd en 0=bc+ad+bd

Probeer dit op te lossen naar c en d in . Wanneer lukt dit (en is a+bu een eenheid), wanneer niet...

Ik kwam op c=a/(a²+10b²) en d=(-5b³-a³-a²b)/a²

Dus wanneer dit iets in uitkomt heb je een eenheid, anders niet. En die techniek kan je natuurlijk voor elke uitbreiding van toepassen.

Greetz,
Christophe.

Christophe
26-12-2003