WisFaq!

Punt van Brocard, punt van Fermat

Hoi,
Het punt van Brocard en het punt van Fermat, wat voor speciale punten zijn dit precies?
Nog een vraagje: Hoe kan je bewijzen dat het hoogtepunt, het zwaartepunt en het middelpunt ALTIJD op één rechte liggen? Nl. de rechte van Euler...

Bedankt!

Pieter
14-12-2003

Antwoord

-- Brocard --
Kies, uitgaande van een driehoek ABC, een hoek w zo, dat
cot(w) = cot(A) + cot(B) + cot(C)
Dan gaan de lijnen die de hoeken OAB, OBC en OCA vormen waarbij OAB = OBC = OCA = w, door één punt.
En dat punt O is het (eerste) punt van Brocard.

Zie bijvoorbeeld: Punten van Brocard
NB. Er is ook nog een tweede punt van Brocard!

-- Fermat --
Teken op de zijden van driehoek ABC gelijkzijdige driehoeken A'BC, B'CA, C'AB, als in onderstaande figuur.
Dan gaan de lijnen AA', BB', CC' door één punt F₁.
Dat F₁ punt is het (eerste) punt van Fermat.

Zie bijvoorbeeld: Punten van Fermat
NB. Er is ook nog een tweede punt van Fermat!

-- Euler-lijn --
Tja, er zijn enkele bewijzen voor de eigenschap dat in een driehoek de punten H, O en Z op één lijn liggen.
Zie bijvoorbeeld voor een tweetal bewijzen: Euler-lijn

dk
14-12-2003