WisFaq!

Differentieerbaarheid en continuïteit van een functie

Hoi,

Laat zien dat de volgende functie differentieerbaar is in x=1, maar wel continu is in x=1. Gebruik hiervoor de definities van continuïteit en differentieerbaarheid.
f(x)= (x-1)² als x1 en
f(x)=lnx als x1

Bedankt.
Groeten

Peter
13-12-2003

Antwoord

Voor x=1 geldt: f(1)=(1-1)²=0
lim_x1f(x)=lim_x1(x-1)²=0
lim_x¯1f(x)=lim_x¯1ln(x)=0
Dus f is continu in 1.

Als f continu is in 1 dan is eenvoudige manier om na te gaan of f ook differentieerbaar is in 1 om te kijken of ook geldt:
lim_x1f'(x)=lim_x¯1f'(x)

Voor x1 geldt: f'(x)=2(x-1), dus lim_x1f'(x)=0
Voor x1 geldt f'(x)=1/x. dus dus lim_x¯1f'(x)=1
Conclusie f is niet differentieerbaar in 1.

hk
13-12-2003