WisFaq!

Volume van een hyperboloide

Hallo,

Ik heb een hyperbool x² + y² - z² = 4 met z tussen 0 en 4. Gevraagd is de inhoud van het afgesneden stuk hyperboloïde.

Ik heb al geprobeerd via poolcoördinaten... Het resultaat dat hier uitkomt is niet correct dus denk ik dat niet niet de goede manier is.

Frank
27-11-2003

Antwoord

Hoi,

Je kan je hyperbool schrijven als:
f(x,y)=sqrt(x²+y²-4) (omdat z=0..4 steeds positief is)

We hebben inderdaad rotatie-symmetrie rond de Z-as, zodat de stap naar poolcoördinaten een veelbelovend idee is:
r=sqrt(x²+y²) en z=f(x,y)=sqrt(r²-4).

De grens z=f(x,y)=0 komt dan overeen met r=2 en z=f(x,y)=4 met r=2Ö5. Het integratie-interval voor r is dus [2,2Ö5].

Een elementair cilinderschilletje met straal r snijdt van je hyperbool een volumetje van dV=sqrt(r²-4).2pr.dr. We weten al waartussen r varieert. Vanaf hier kan je makkelijk zelf verderrekenen, denk ik...

Groetjes,
Johan

andros
4-12-2003