WisFaq!

Twee bewijzen rond parabolen

A
De loodrechte projectie van het brandpunt van een parabool op een willekeurige raaklijn ligt op de topraaklijn.
Bewijs..

B
In 2 punten A en B van een parabool trekt men de normalen aan P . Zij snijden de as in 2 punten A' en B'. Bewijs dat de middelloodlijn van [AB] het lijnstuk [A'B'] middendoor deelt.

Dries de Zwane
31-10-2003

Antwoord

De eerste volgt uit een mogelijke constructie van een parabool.

Hoe gaat dit in zijn werk? Neem een richtlijn D en een brandpunt f. Neem een punt x op de richtlijn en teken in dit punt de loodlijn op de richtlijn.
Teken vervolgens de middelloodlijn van [xf]. Waar de rechte xf en de loodlijn door x op D elkaar snijden vind je een punt van de parabool. De middelloodlijn zelf is een raaklijn aan de parabool in dat snijpunt.

Neem dus een willekeurig punt p op je parabool en construeer de raaklijn P en laat de loodlijn neer vanuit dit punt op de richtlijn D. Noem het snijpunt van die loodlijn met de richtlijn x.
Bepaal nog m, het snijpunt van de rechte xf met de raaklijn.
Aangezien de raaklijn P de middelloodlijn is van het lijnstuk [xf] is m het midden van [xf]. Teken nu de hoofdas en de loodlijn op je hoofdas door f (en dus evenwijdig met D).



Snijpunt hoofdas en D noem je vb q.
Op die manier heb je een rechthoek geconstrueerd met xf als diagonaal. De diagonalen snijden elkaar middendoor. En dus is ||xm||=||mf||=||qm||. Bijgevolg ligt m op de middelloodlijn van [qf]. De middelloodlijn van [qf] is niets anders dan de topraaklijn.

Voor het tweede hebben we enkel een analytisch bewijs kunnen bedenken gebruik makend van de eigenschap dat de subnormalen van de beide punten (A, B) gelijk zijn.

(Bedankt Dick!)

Stel A=(a,y_a) en B=(b,y_b) bij de parabool y²=2px.
Dan is A'(a+p, 0) en B'(b+p,0) (moet je maar eens berekenen).
Voor het midden M van A'B' hebben we dan M=(0.5a+0.5b+p,0)
We moeten nu aantonen, dat M op de middelloodlijn van AB ligt.
Dus aantonen, dat (MA)² = (MB)²
Dat levert:

(MA)² = (-0.5a+0.5b+p)² +(-y_a)² =
0.25a²+0.25b²+p²-0.5ab - ap + bp + (2pa)
(MB)² = (0.5a - 0.5b + p)² + (-y_b)²) =
0.25a²+0.25b²+p²-0.5ab + ap - bp + (2pb)
En inderdaad, MA² = MB²

En uiteraard kan ook het eerste op een analytische wijze bewezen worden:
Uit de vgl van de topraaklijn volgt dat het te bewijzen te reduceren valt tot aantonen dat het eerste coördinaatgetal nul is van dit punt. Dus stel je eerst de vgl op van een willekeurige raaklijk aan de parabool door te ontdubbelen en dan de parametervgl in te voegen. Je bekomt 2py=x+2ap2 met p de parameter en a de afstand tussen de brandpunten. Dan stel je de vgl op van een rechte door het brandpunt loodrecht op deze raaklijn. Dit is vrij eenvoudig doordat je weet dat de rico van de raaklijn 1/(2p) is. Hieruitvolgt dat de vgl van deze recht gelijk is aan: y=-2px+pa. Nu het snijpunt van deze rechte en de willekeurige raaklijn is de oplossing van het probleem. Als je dit in een stelsel uitrekent krijg je x=0.

Mvg,

Els
5-11-2003