WisFaq!

Verenigbaar zijn van inwendige samenstellingswetten

equivalentrelatie (a,b)R(c,d)Ûad=bc is geven, nu moet ik nagaan of deze equivalentrelatie verenigbaar is bet de inwendige samenstellingswet * als
(a,b)*(c,d)=(a+d,b+c)

hoe moet ik hieraan beginnen?

wim
30-10-2003

Antwoord

Ik veronderstel dat de genoemde koppels elementen zijn van ² en dat de genoemde optelling en vermenigvuldiging die zijn van .

Verenigbaarheid vereist in dit geval dat wanneer we twee equivalente koppels samenstellen met een willekeurig ander koppel, de resultaten op hun beurt equivalent zijn. Merk op dat de gegeven samenstellingswet niet commutatief is. Misschien moet in de definitie van verenigbaarheid die je me gegeven hebt dus ook de "rechtse samenstelling" bekeken worden en niet alleen de linkse.

Gegeven:
(a,b)R(c,d) (of dus ad=bc)

Gevraagd:
(x,y)*(a,b) R (x,y)*(c,d)
voor elke (x,y)?

Controle:
(x,y)*(a,b) = (x+b,y+a)
(x,y)*(c,d) = (x+d,y+c)

(x,y)*(a,b) R (x,y)*(c,d)
Û(x+b,y+a)R(x+d,y+c)
Û(x+b)(y+c)=(y+a)(x+d)
Ûxy + bc + xc + yb = xy + ad + xa + yd

Aangezien ad=bc, moet dus voldaan zijn aan xc + yb = xa + yd voor elke (!) x en y. Daartoe moet a=c en b=d.

Verenigbaarheid vereist dus in dit geval equivalentieklassen van slechts 1 element...

cl
1-11-2003