WisFaq!

Bewijs formule van Euler

Hoe kun je de volgende formule van Euler bewijzen:
e^{$\Phi$ i} = cos$\Phi$ + i sin$\Phi$?

Peter Smit
23-10-2003

Antwoord

Door te vertrekken van de machtreeks voor exp(z). Dat is trouwens de *definitie* van exp(z) in de hogere wiskunde.

exp(z) = 1 + z + z²/2! + z³/3! + z⁴/4! + ...

zodat

exp(iz) = 1 + iz - z²/2! - iz³/3! + z⁴/4! + ...
exp(-iz) = 1 - iz - z²/2! + iz³/3! + z⁴/4! + ...

Sinus en cosinus worden nu hieruit *gedefinieerd* als

sin(z) = (1/(2i))[exp(iz)-exp(-iz)] [*]
cos(z) = (1/2)[exp(iz)+exp(-iz)] [**]

Hieruit kan je een veelheid van eigenschappen bewijzen die je al kent, zoals sin²(z)+cos²(z) of de verdubbelingsformules.

Vermenigvuldig [*] met i en tel er [**] bij op om het gevraagde te bekomen. Eigenlijk is dat dus een gevolg van de definities van sin(z) en cos(z) en niet echt een te bewijzen stelling...

cl
23-10-2003