WisFaq!

Vectoren (lineair onafhankelijk)

Goedemiddag, ik krijg hier weer een bewijs als opdracht en ik weet niet hoe ik eraan moet beginnen zoals gewoonlijk. Het gaat m om verctoren, zodus v staat voor vector: "Zijn v1 en v2 Î tot de n-de macht lineair onafhankelijk dan zijn ook v1 en v1 + v2 lineair onafhankelijk. Bewijs." Om te bewijzen dat vectoren in een bep. ruimte lin. onafh. zijn, hebben we deze telkens onder elkaar in een matrix gezet en dan de spilmethode toegepast, verkregen we het bijhorende eenheidsmatrix, noemden we deze vectoren lin. onafh. Maar bij bovenstaand bewijs, zou ik niet weten hoe eraan te beginnen. Bij deze hoop ik dan ook op jullie hulp, alvast bedankt!!

S. uit België
13-10-2003

Antwoord

Hoi,

Een lineaire combinatie van een stel vectoren v_i is een vector die je kan schrijven als $\sum$a_i.v_i. De vectoren v_i zijn lineair onafhankelijk als je de 0-vector maar op precies één manier kan schrijven als linaire combinatie, namelijk die met alle coëfficiënten 0. Formeel:
$\sum$a_i.v_i=0 $\Rightarrow$ 'i:a_i=0

In jouw opgave weten we dat v₁ en v₂ lineair onafhankelijk zijn, dus hebben we dat:
x.v₁+y.v₂=0 $\Rightarrow$ x=y=0

Om de (on)afhankelijkheid van v₁ en v₁+v₂ te onderzoeken, kijken we wanneer hun lineaire combinaties 0 worden:
a.v₁+b.(v₁+v₂)= 0
$\Rightarrow$
(a+b).v₁+b.v₂ = 0
$\Rightarrow$ (v₁ en v₂ zijn lineair onafhankelijk)
a+b=b=0
$\Rightarrow$
a=b=0

De enige lineaire combinatie van v₁ en v₁+v₂ is dus die met coëfficiënten 0. Dit bewijst hun lineaire onafhankelijkheid.

Groetjes,
Johan

andros
13-10-2003