WisFaq!

Bewijzen (Volledige Inductie) - sum(i/2ⁱ)<=2

Ik moet voor alle natuurlijke getallen n = 1 bewijzen dat deze stelling geldt:

¹/₂ + ²/₄ + ³/₈ + ... + ⁿ/_2ⁿ 2

Ik heb al op verscheidene manieren proberen te bewijzen dat dit waar is, maar ik kom niet verder als:

2 + (n+1)/2ⁿ⁺¹ = 2

En dit zou dus betekenen dat de bovenstaande stelling niet klopt, omdat 2 + iets toch hoger is dan 2, of zie ik iets over het hoofd?

Rob Bakker
22-9-2003

Antwoord

Hoi,

We noteren f(n)=sum(i/2ⁱ:i=1..n). Je wil bewijzen dat f(n) 2 voor alle n1 met inductie.

Basisstap: n=1
f(1)=1/22

Inductiestap: voor n1 geldt: f(n) 2 Þ f(n+1) 2
Je rekent makkelijk na dat 2.f(n+1)-f(n)=1+1/2+1/4+...+1/2ⁿ. Zo zijn we die vervelende oplopende getallen kwijt in de tellers en krijgen we zelfs een eenvoudige partieelsom van een meetkundige rij.
We weten al dat f(n)2 uit de veronderstelling van de inductiestap en bovendien: sum(1/2ⁱ:i=0..n)=2-1/2ⁿ2. Zodat f(n+1)2.

De rij f(n) is dus stijgend en naar boven begrensd. Er bestaat dus een limiet F voor n® ¥. Bovendien zal gelden: 2F-F=2, dus: F=2.

Groetjes,
Johan

PS: Alternatief (zonder inductie):
als f_n(x)=sum(xⁱ:i=1.. n) (voor x Î ]–1,1[), dan kan je makkelijk een gesloten formule voor f_n(x) opstellen.
Je kan dan s_n(x)=x.df_n(x)/dx=sum(i.xⁱ:i=1..n) bepalen en zo tot een gesloten uitdrukking voor s_n(x) komen. Je herkent wellicht s_n(1/2). Je kan ook nog andere leuke reeksen bedenken door x^k.d^kf_n(x)/dx^k te bekijken…

andros
22-9-2003