WisFaq!

Matrices en spoor

Zij A=(aij) een nxn matrix. We definieren het Spoor van A als TrA:=a11+a22+...+ann

Bewijs
i) Tr(A+B)=TrA+TrB voor alle nxn matrices A en B
ii) Tr(cA)=cTrA voor alle cÎ, alle nxn matrices A
iii) Tr(AB)=Tr(BA) voor alle nxn matrices A en B

Fleur Janssen
15-9-2003

Antwoord

In woorden zou je kunnen zeggen:
Het spoor van een vierkante matrix is de som van de (hoofd)diagonaalelementen.
Een element op plaats ij van de matrix A+B krijg je, door de elementen van A en die van B op die plaats bij elkaar op te tellen. Daarmee is het bewijs van de eerste regel al bijna geleverd.
De tweede regel volgt direct uit:
c·a11 + c·a22 + ... + c·ann = c·(a11 + a22 + ... + ann)
Voor de derde regel komt iets meer kijken.
Probeer eens op te schrijven hoe je een diagonaalelement van AB, op plaats ii, kunt uitdrukken in aij en bji, en kijk wat er gebeurt als je al deze diagonaalelementen bij elkaar optelt.
Hopelijk ben je hiermee een eindje op weg geholpen.
groet,

Anneke
15-9-2003