WisFaq!

De somrij bepalen

Ik vraag me af hoe ik de somrij kan bepalen van de volgende reeks:

1⁴ + 2⁴ + 3⁴ +....+n⁴

en hoe bewijs ik vervolgens de gevonden formule, moet dit met volledige inductie??

Armand
11-9-2003

Antwoord

Eerst maar de formule:

1⁴+2⁴+...n⁴=¹/₃₀n(n+1)(6n³+9n²+n-1).

Als je deze formule hebt kun je de juistheid m.b.v volledige inductie bewijzen.

Voor dit soort somrijen bestaat ook een directe (maar wel omslachtige) methode.
Je past dan de volgende truc toe:
$\sum$_i=1ⁿ(i⁵-(i-1)⁵)=n⁵,
maar ook
$\sum$_i=1ⁿ(i⁵-(i-1)⁵)=$\sum$_i=1ⁿ(5i⁴-10i³+10i²-5i+1)
Door het combineren van deze twee (en bekende som formules voor $\sum$i³, $\sum$i², $\sum$i en $\sum$1) kun je dan de gewenste formule afleiden.

hk
11-9-2003