WisFaq!

Chi-kwadraat verdeling

De omschrijving van een chi-kwadraat verdeling luidt:

Als Z1, Z2, Z3,..., Zn onafhankelijk en standaard normaal verdeeld zijn, dan heeft de som van de kwadraten X,
X:= Z1²+ Z2²+ Z3² + ... + Znⁿ Zk ~ N(0,1) "kÎ{1,...,n} een chi-kwadraat verdeling met n vrijheidsgraden en we noteren c~c²_n

Nu staat er in mijn cursus dat E voor c~c²_n gelijk is aan n.
Dat is me niet helemaal duidelijk.
E voor de normale verdeling is 0, dan zou dit voor de chi-kwadraat verdeling toch E[Z1]²+ E[Z1]²+...+ E[Zn]² = n´ 0 = 0 (en dus niet n) moeten zijn? Wat mis ik hier?

S
18-8-2003

Antwoord

Je mist dat voor een veranderlijke T er een verschil is tussen E[T]² en E[T²]. Voor een standaardnormaal verdeling is E[T²]=1, waaruit het gestelde volgt. Het algemene verband tussen E[T²] en E[T]² is

E[T²] = E[T]² + E[(T-E[T])²]

in woorden:

(tweede niet-gecentreerd moment) = (kwadraat van het gemiddelde) + (tweede gecentreerd moment, ook wel variantie genoemd)

cl
18-8-2003