WisFaq!

Cyclometrische functies

Ik ben niet zo bekend met cyclometrische functies en krijg de volgende oefeningen voorgeschoteld:

1. Gegeven f(x)=arctan x
   1. Welke asymtoten heeft de grafiek van f?
   2. Hoe groot is de r.c van de raaklijn aan de grafiek in het punt (0,0)?
   3. Hoe groot is de r.c van de raaklijn aan de arctangensgrafiek in het punt (1, ¹/₄p)?

Hoe pakt men dit aan, het volgende vind ik ook erg lastig:

2. Los op
   1. 6sin²x + 5sinx +1=0
      
   2. sinx + cosx=1

Bij voorbaat dank voor uw antwoord.

Mellaard
12-8-2003

Antwoord

De arctan-functie is de inverse van de gewone tangens-functie, op het domein $<$-$\pi$/2, $\pi$/2$>$
Deze tangensfunctie heeft verticale asymptoten x=-$\pi$/2 en x=$\pi$/2, dus de inverse heeft horizontale asymptoten y=-$\pi$/2 en y=$\pi$/2.
Zie de grafiek:

Voor de raaklijnen moet je de afgeleide van de arctan-functie weten, en die is 1/(1+x²).
De rc in het punt (0,0) is dus 1, en die in het punt (1, ¹/₄$\pi$) is 1/(1+1), dus ¹/₂

Dan de twee vergelijkingen.
Voor de eerste moet je op het idee komen om voor sin(x) een nieuwe onbekende te substituteren, bijvoorbeeld p.
De vergelijking wordt dan: 6p² + 5p +1 = 0. Deze vergelijking kun je oplossen met de abc-formule. De oplossing is: p=-¹/₃ of p=-¹/₂
dus sin(x)=-¹/₃ of sin(x)=-¹/₂
ofwel
x=arcsin(-¹/₃)+k·2$\pi$ of x=$\pi$-arcsin(-¹/₃)+k·2$\pi$
of
x=arcsin(-¹/₂)+k·2$\pi$ of x=$\pi$-arcsin(-¹/₂)+k·2$\pi$
deze laatste twee kun je nog vereenvoudigen, omdat arcsin(-¹/₂) gelijk is aan -$\pi$/6

De tweede vergelijking is een standaardvorm, die je kunt oplossen door gebruik te maken van de gonioformules voor cos(x-y).
Je kunt namelijk voor A·sin(x) + B·cos(x) ook schrijven: C·cos(x-p) waarbij p bepaald wordt door arctan(A/B), (plus $\pi$ als B$<$0), en C door √(A²+B²).
Ik hoop dat dit niet helemaal nieuw voor je is, anders kan ik me voorstellen dat dit even boven de pet gaat.
succes,

Anneke
12-8-2003