WisFaq!

Lastige limieten

Ik heb twee limietberekeningen waar ik niet uitkom:

1. lim v$\to$2 v²+2v-8/v⁴-16

Ik ben begonnen met de noemer te hernoemen als (v²-4)(v²+4), maar daar kwam ik niks verder mee.
Ook geprobeerd op deze manier de teller te hernoemen, maar ook daar kwam ik niet verder mee.

2. Limiet x$\to$2 (√(x+2)-√2x)/(x²-2x)
Hier heb ik geprobeerd de 'worteltruc' toe te passen, maar dat werkte niet.


De antwoorden bij beide sommen zijn het probleem niet. Die kan ik wel vinden op mijn rekenmachine, maar ik snap niet hoe ik het zelf kan berekenen.

Hopelijk kan iemand mij helpen.

MVG Annemieke

Annemieke
5-8-2003

Antwoord

1)

Je moet leren de moeilijkheden in een opgave te herkennen, of jezelf de vraag te stellen: waarom wordt mij deze opgave gevraagd? Waar zit het probleem?

Het probleem is hier: v=2 is een (enkelvoudig) nulpunt van de noemer. Dus we verwachten dat de limiet voor v-$>$2 van onze uitdrukking oneindig is, TENZIJ v=2 ook een nulpunt zou zijn van de teller, dan zijn ze te schrappen.

En inderdaad, de noemer is te schrijven als (v²+4)(v-2)(v+2) en de teller is te schrijven als (v-2)(v+4)

De functie in de opgave is niet gedefinieerd in v=2, maar daarbuiten is ze dus net hetzelfde als (v+4)/[(v²+4)(v+2)]. En aangezien de definitie van limiet enkel gaat over punten rondom een gegeven punt en niet over het limietpunt zelf, kunnen we dus gewoon de limiet van die laatste uitdrukking bepalen. Daar zit geen enkele moeilijkheid in. De limiet is 3/16.

2)

De 'worteltruc' werkt nochtans. Vermenigvuldig teller en noemer met

√(x+2) + √(2x)

Er komt dan

(x+2-2x)/[(x²-2x)(√(x+2)+√(2x))]

De factor (x-2) is nu in teller en noemer te schrappen, zodat

-1/[x(√(x+2)+√(2x))]

overblijft en de limiet gelijk is aan -1/8.

cl
5-8-2003