WisFaq!

Eigenwaarde en eigenvectoren

Ik geraak niet uit onderstaande oefening.

Volgende matrices is gegeven:

1 0 4
0 2 0 - l
4 0 7

1-l 0 4 1-l 0
= 0 2-l 0 0 2-l
4 0 7-l 4 0

= ((1-l)*(2-l)*(7-l)) - (4*4*(2-l)

= 14 + l²-14l-l³+14-2l-7l+l²-32+16l

= -l³+2l+7l-4

Nu heb ik 2 problemen
1. Ik denk dat ik in mijn uitwerking ergens een rekenfout maak, maa rik zie niet waar.
2. Via de regel van Horner zou ik aan de volgende l's moeten geraken (ik weet alleen niet hoe):

l = -1
l = 2
l = 9

Danny
23-6-2003

Antwoord

Je hebt devolgende matrix gegeven:

/1 0 4\
|0 2 0|
\4 0 7/

Praktische berekening van eigenwaarden: Zoek de oplossingen van de volgende vergelijking:

|1-l   0    4 | 
| 0   2-l   0 | = 0 
| 4    0   7-l| 
 

Dus je moet de determinant uitrekenen en nul stellen. Je krijgt de vergelijking -t³+10t²-7t-18=0

Deze veelterm kan je ontbinden met de regel van horner. Hiervoor met je wel een vermoeden van een mogelijk nulpunt hebben. Als je dat hebt gevonden krijg heb je uiteindelijk een tweedegraadsvergelijking over die je met de abc-formule kan oplossen.

Horner: Schrijf de coefficienten van de vergelijking (hier -1 10 -7 -18) naast elkaar en schrijf links onder het vermoedelijke nulpunt (hier -1). Laat de eerste coefficient (-1) zakken, vermenigvuldig hem met het vermoedelijke nulpunt (-1) en schrijf hem onder de tweede coefficient (10). Tel die twee onder elkaarstaande getallen op. Je krijgt 11. Doe nu weer 11 * -1 is -11. Schrijf dat onder de derde coefficient. Tel op. En ga verder tot de coefficienten zijn opgebruikt. Je MOET rechts onder nul krijgen. Zoniet heb je geen nulpunt te pakken en moet je opnieuw proberen met een ander getal als -1. (ik wist al dat -1 een nulpunt was dus heb ik vals gespeeld. Neem als testnulpunten steeds eerst delers van de laatste coefficient)

   -1 10  -7  -18 
-1     1 -11   18 
   -1 11 -18 || 0 
 

De getallen die je onderaan krijgt zijn de coefficienten van de 2e graads vergelijking die overblijft. Dus -1 is een eigenwaarde en de oplossingen van -x²+11x-18=0 zijn de overige eigenwaarden. (nl 2 en 9)

Koen Mahieu

Regel van Horner

Geef in de bovenste regel de coëfficiënten van de veelterm die je wil ontbinden en in het linker vakje het 'vermoedelijke' nulpunt. Klik op 'Bereken' en je krijgt in de onderste regel het resultaat.

	|
	|
	|

km
23-6-2003