WisFaq!

Ln² functie differentieren

Hallo,
Gegeven is de volgende functie
(4lnx)/(1+(ln²x)
Hoe differentieer je deze functie? Het lijkt mij logisch de quotient regel te gebruiken maar het ln kwadraat maakt het mij erg lastig. Ik heb namelijk geen idee hoe ik deze moet differentieren.

Kunnen jullie mij helpen Alvast bedankt

Linda
12-6-2003

Antwoord

Je moet hier eigenlijk 2 regels combineren:
ten eerste de quotientregel en ten tweede de kettingregel.

Nu kan ik alvast verklappen dat de kettingregel om de hoek zal komen kijken wanneer we de term ln²x moeten differentieren.
immers: [ln²x]'=[(lnx)²]'=2lnx.[lnx]'=2lnx.1/x=(2/x).lnx

nu dus terug naar de oorspronkelijke functie
f(x)=(4lnx)/(1+ln²x)

De quotientregel zegt dat wanneer een functie een breuk t/n is, dat de afgeleide gelijk is aan (nt'-tn')/n²
Dit passen we toe op onze functie:

f'(x)={(1+ln²x).[4lnx]'-(4lnx).[1+ln²x]'}/(1+ln²x)²
= {(1+ln²x).(4/x)-(4lnx).[ln²x]'}/(1+ln²x)²
= {4/x + (4/x)ln²x - (4lnx).(2/x)lnx}/(1+ln²x)²
= {4/x + (4/x)ln²x - (8/x)ln²x}/(1+ln²x)²
= {4/x - (4/x)ln²x}/(1+ln²x)²
= {4 - 4ln²x}/x(1+ln²x)²

groeten,

martijn

mg
12-6-2003