WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op donderdag 2 mei 2024

Re: Formule voor de lengte van een curve

Waar vind ik het bewijs hiervoor?

jack hielema
6-6-2003

Antwoord

Hoi,

Stel de volgende willekeurige functie voor.
q12135img1.gif
Je wilt de lengte van de grafiek tussen P en Q weten.
Eerst zou je dat kunnen benaderen, door Pythagoras toe te passen. PQ2 = (Dx)2 + (f(x + Dx) - f(x))2 Þ PQ = Ö[(Dx)2 + (f(x + Dx) - f(x))2]
We kunnen (f(x+Dx)-f(x))2 herschrijven als [[f(x + Dx) - f(x) · Dx]/(Dx)]2
Dan staat er iets bekends namelijk [f(x + Dx) - f(x)]/(Dx) en dat is de afgeleide van f.

Dus er staat PQ = Ö[(Dx)2 + (f'(x)·Dx)2]
PQ = Ö [(Dx)2 + (Dx)2·(f'(x))2]
Zetten we (Dx)2 buiten haakjes, krijgen we
PQ = Ö[(Dx)2·(1 + (f'(x))2)]
Indien we (Dx)2 buiten het wortelteken zetten krijgen we PQ = DÖ[1 + (f'(x))2].

Indien we nu het interval [x, x + Dx] in oneindig veel Dx'en verdelen, krijgen we de algemene formule zoals in vorige antwoord gegeven.

Groetjes,

Davy.

Davy
9-6-2003


© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#12135 - Integreren - Student hbo