WisFaq!

Homogene differentiaalvergelijkingen

geachte,

zou U mij misschien enige uitleg kunnen verschaffen bij volgende opgaven :
x² + y² - 2xyy' = 0
(3y+x-4)dx - (x+y-1)dy = 0
Ik heb reeds verschillende malen geprobeerd een eind te knopen aan het oplossen van dit soort homogene differentiaalvergelijkingen maar ik kom er maar niet uit.
Zou u mij wat algemene uitleg kunnen verschaffen over het oplossen van deze vergelijkingen. Ben eerder op zoek naar een algemene oplossingsmethode.
Ik zou u zeer dankbaar zijn !!
Bram - student ingenieur, België

Bram
3-6-2003

Antwoord

Het is niet eenvoudig om een recept te geven dat in alle gevallen werkt, maar ik kan wel een tip geven:
Voor het eerste geval zou je door die y² en die 2y·y' op het idee kunnen komen van een substitutie: u=y².
Dan geldt: u'=2y·y', dus dan wordt de dv:
x² + u - 2x·u' = 0, en die is lineair.
De tweede dv doet denken aan een exacte dv, maar is dat niet.
Schrijf de vergelijking eerst als (x+ 3y - 4)dx + (-x - y + 1)dy = 0
Noem x + 3y - 4 = u en -x - y + 1 = v
Dan is dx + 3dy = du en -dx - dy = dv
Uit deze twee relaties los je de dx en de dy op, uitgedrukt in du en dv.
Vervolgens herschrijf je de oorspronkelijke vergelijking in termen u, v, du en dv.
Het resultaat is een homogene vergelijking.
Substitueer z=u/v, ofwel u=v·z, waardoor de dv op te lossen is door middel van scheiden van variabelen.
Met dank aan Max. Ik hoop dat je er wat aan hebt.
succes.

Anneke
4-6-2003