WisFaq!

Algebraïsche structuren

Hoe vind je de deelgroepen vanuit en Cayleytafel? Bijvoorbeeld de Cayleytafel van 6,+

Ik breek er al dagen mijn hoofd over...

Kris Laporte
25-5-2003

Antwoord

Dag Kris,
Zoals je weet is de enige eis opdat een deelverzameling van een groep een deelgroep zou zijn, dat de bewerking intern is (de andere voorwaarden worden overgeërfd van de grotere groep).
Dus zou je een willekeurig element kunnen kiezen, en dan op de kolom en de rij van dat element gaan kijken welk element er daarop voorkomt. Je hebt nu dus twee elementen. Kijk nu op de snijpunten van rijen en kolommen van die twee elementen (dus vier plekken). Zo krijg je maximum vier elementen, maar het kunnen er ook minder zijn natuurlijk. Dat procédé zet je verder totdat je eens een keer geen nieuwe elementen bekomt. Als je op dat moment niet alle elementen van de groep hebt bereikt, heb je een echte deelgroep (dus niet de triviale met alleen het eenheidselement, en niet de volledige).

Toegepast op ₆,+ geeft dit:
- Start bij de 1. Op (1,1) staat de 2. Op (1,2) staat een 3 en op (2,2) staat een 4. Op (1,4) staat een 5 en op (3,3) een 6=0, dus je hebt de volledige groep.
- Start bij de 2. Op (2,2) staat 4. Op (2,4) en (4,2) staat 0, op (4,4) staat 2. Hier krijg je geen nieuwe elementen, dus {0,2,4} is een deelgroep.
- Starten bij de 3 geeft de deelgroep {0,3}
- Starten bij de 0 geeft de deelgroep {0}

Voor commutatieve groepen kan je je natuurlijk beperken tot het gebied boven de 'diagonaal', voor niet-commutatieve moet je wel alle snijpunten bekijken.

Ik hoop dat het je duidelijk is,
Groeten,

Christophe.

Christophe
25-5-2003