WisFaq!

Differentiaalvergelijking oplossen

hoe los ik volgende differentiaalvergelijking op?
y'[0](x)+ly[0](x)=0
y'[i](x)+ly[i](x)=ly[i-1](x)
als y[i]0=0 als i0
en y[0]0=1

loof jonas
19-5-2003

Antwoord

Vermenigvuldig beide leden met exp(lx). Het linkerlid wordt dan

= y'_i(x).exp(lx) + y_i(x).l.exp(lx)
= d/dx [ y_i(x) . exp(lx) ]

De oplossing van de i-de differentiaalvergelijking is dan

y_i(x) = exp(-lx).[òy[i-1](x).exp(lx)dx + C_i]

Zo vinden we achtereenvolgens

y₀(x) = exp(-lx)
y₁(x) = exp(-lx).(lx)
y₂(x) = exp(-lx).(l²x²/2)
y₃(x) = exp(-lx).(l³x³/6)

Je kan nu zelf aantonen dat ALS

y_k(x) = exp(-lx).(l^kx^k/k!)

dat DAN

y_k+1(x) = exp(-lx).(l^k+1x^k+1/(k+1)!)

wat het bewijs dan zal vervolledigen.

Nog een leuke opmerking, die ik niet meteen heel rigoureus kan ondersteunen (vanwege de oneindige sommen):

Noem z(x) de som van alle functies y_i(x). Dan geldt voor z(x)

z'(x) + lz(x) = lz(x), met randvoorwaarde z(0)=1

De oplossing daarvan is natuurlijk z=1. Tel nu alle gevonden oplossingen voor y_i(x) op. Inderdaad!

PS: Laplacegetransformeerden maken deze opgave nog iets eenvoudiger denk ik.

cl
20-5-2003