WisFaq!

Primitieve van f bewijzen

Ik heb een opgave gekregen waarbij ik moet bewijzen dat de functie f:x®3*sin³(x) als primitieve heeft:
F(x)=cos³(x)-3*cos(x)

Van dit gedeelte zie ik eigenlijk alleen de cos³(x) ontstaan, maar voor de rest niet.
Kunt u mij helpen met deze opgave?

Eelco
12-5-2003

Antwoord

Om te bewijzen dat F(x)=cos³x-3cosx een primitieve is van
f(x)=3sin³x, neem je de afgeleide van F(x) en kijk je of dit f(x) oplevert.
ofwel check dat [F(x)]'=f(x)

[F(x)]'=3cos²x.[cosx]' + 3sinx
= -3cos²sinx + 3sinx
=3sinx(1-cos²x)

welnu, je weet dat sin²x+cos²x=1, dus sin²x=1-cos²x
Vul dit in in het bovenstaande:

...= 3sinx(sin²x) = 3sin³x

Hiermee heb je bewezen dat F(x) EEN primitieve is van f(x).
F(x) is EEN primitieve en niet DE primitieve, want
F(x)= cos³x-3cosx + c is ook een primitieve, met c een willekeurige constante.

groeten,
martijn

mg
12-5-2003